2024-2025学年上海市闵行中学高二上学期期末考试数学试卷含详解.docx

闵行中学高二期末数学试卷

2025.01

一?填空题

1．抛物线的准线方程为．

2．已知函数,其中,若,则的值为.

3．若一个球的体积是,则这个球的表面积是．

4．已知侧面都是矩形的四棱柱,侧棱长为5,底面是边长为2的菱形,则这个棱柱的侧面积是．

5．上海的纬度大约是北纬31°,已知地球的半径大约是6370km,则北纬31°纬线的长度是km（精确到个位）.

6．如图,三棱柱中,侧面的面积是4,点到侧面的距离是3,则三棱柱的体积为.

7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值等于.

8．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为的扇形,则过这个圆锥顶点的截面中,最大截面面积等于.

9．正四棱锥的所有棱长均相等,是的中点,那么异面直线与所成角的正切值为.

10．已知函数,且在区间上的最大值为3,无最小值,则的取值范围是.

11．如图,已知分别为双曲线的左,右焦点,为坐标原点,过点的直线与双曲线交于两点,以为直径的圆经过点,且,则双曲线的离心率为.

12．连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”,定义一个多面体的序列,是体积为1的正四面体,是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体.则的体积为.

二?选择题

13．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．已知l是平面α的一条斜线,直线,则（????）

A．存在唯一一条直线m,使得l⊥m B．存在无数多条直线m,使得l⊥m

C．存在唯一一条直线m,使得l∥m D．存在无数多条直线m,使得l∥m

15．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”,其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形,将此图形绕轴旋转一周,得到一个旋转体,则这个旋转体的体积为（????）

A． B． C． D．

16．现定义如下:当时,若,则称为延展函数.已知当时,且,且均为延展函数,则以下结论（????）

（1）存在与有无穷个交点

（2）存在与有无穷个交点

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.

三?解答题

17．已知,动点满足,设动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的标准方程.

(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.

18．如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面是正三角形,侧面底面是的中点.

(1)求证：平面.

(2)求侧面与底面所成二面角的正切值.

19．现有一张长为,宽为的长方形铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免）,不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图,在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形,高为,体积为.

(1)写出关于的函数关系式,并写出的范围.

(2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大,对应的为多少？并求出的最大值.

20．已知椭圆:,直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点,设线段的中点为.

??

(1)求椭圆的焦距和离心率.

(2)若,求直线的方程.

(3)过点再作一条直线与椭圆交于点,线段的中点为.若,则直线是否经过定点？若经过定点,求出定点坐标,若不经过定点,请说明理由.

21．已知函数.

(1)曲线在点处的切线过点,求的值.

(2)求函数的单调区间.

(3)若不等式恒成立,求整数的最大值.

1．

【分析】根据抛物线方程求出准线方程．

【详解】由抛物线,可得.

抛物线的准线方程为.

故答案为：．

2．2

【分析】求出代入可得答案.

【详解】因为,所以.

故答案为：2.

3．

【分析】根据题意结合体积求得球的半径,进而可求球的表面积.

【详解】设球的半径为,则,解得.

所以这个球的表面积为.

故答案为：.

4．

【分析】根据题意,由棱柱侧面积公式,计算可得答案.

【详解】根据题意,该四棱柱的侧面积都是矩形,侧棱长为5,底面是边长为2的菱形,则其侧面积为.

故答案为：

5．

【分析】根据纬度及地球半径求纬度线所在圆的半径,再由圆的周长公式求北纬31°纬线的长度.

【详解】由题设,北纬31°纬线所成圆的半径.

∴北纬31°纬线的长度km.

故答案为：

6．6

【分析】观察