2024-2025学年上海市杨浦高级中学高一上学期期末考试数学试卷含详解.docx

杨浦高级中学2024学年第一学期高一年级数学期末

2025.01

一,填空题（本大题共有12题,满分54分）1-6题每题4分,7-12题每题5分

1．已知集合,且,则．

2．函数过定点.

3．已知方程的两根为,,则.

4．半径为,圆心为的圆弧的长为.

5．不等式的解集为.

6．已知是第二象限角,则终边在第象限.

7．记,那么.

8．关于x的方程的解集为．

9．已知满足,,都有,则实数的取值范围为．

10．已知,若实数且,则的最小值是．

11．设函数定义域为R,对于下列命题:

①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值;

②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点;

③若函数满足对任意的,都有或都有成立,则函数是偶函数或奇函数;

④若函数满足对任意的,任意的,都有成立,则函数在R上严格递增;

其中,所有假命题的序号为.

12．已知函数,,若函数有6个零点,则实数的取值范围为.

二,选择题（本大题共有4题,满分20分）

13．用反证法证明命题“设,如果能被5整除,那么中至少有一个能被5整除”,假设应该是（????）

A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除

C．或不能被5整除 D．都不能被5整除

14．已知都是正数,则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

15．若在用二分法寻找函数零点的过程中,依次确定了零点所在区间为,则实数和分别等于（????）

A． B．2,3 C． D．

16．定义在R上且图像连续不断的函数,若存在实数使得任意实数x都成立,我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（????）

A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数”

C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点

三,解答题（满分76分,共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．已知,设集合,集合.

(1)分别求集合A和B.

(2)若,求a的取值范围.

18．已知函数为幂函数,且为奇函数.

（1）求的值.

（2）求函数在的值域.

19．诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理,化学,文学,经济学,生理学和医学,和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为.

(1)请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）?

(2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为）,试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符,并说明理由.

20．已知函数．

(1)判断函数的单调性,并用定义给出证明.

(2)解不等式.

(3)若关于x的方程只有一个实根,求实数m的取值范围．

21．已知函数与的定义域均为,若对任意的都有成立,则称函数是函数在上的“L函数”.

(1)若,判断函数是否是函数在上的“函数”,并说明理由.

(2)若,函数是函数在上的“函数”,求实数的取值范围.

(3)若,函数是函数在上的“函数”,且,求证：对任意的都有.

1．

【分析】根据两个集合元素之间的关系,分类讨论,列式解方程即可．

【详解】由题意,.

若时,,满足题意.

若时,,不满足集合元素的互异性,不满足题意.

又,故若时,解得或.

若时,,满足题意.

当时,,不满足集合元素的互异性,不满足题意.

综上所述,.

故答案为：.

2．

【分析】由,令即可得解.

【详解】由题意得,函数,令,即时,解得,即函数的图象过定点.

故答案为：.

3．

【分析】由方程易知,根据根与系数的关系写出,,由即可求值.

【详解】由题设知：.

∴,.

∴.

故答案为：.

4．

【分析】将扇形的圆心角化为弧度数,然后利用扇形的弧长公式即可计算出答案.

【详解】弧度,半径为,圆心为的圆弧的长.

故答案为：.

【点睛】本题考查扇形弧长的计算,解题时要注意扇形的圆心角应化为弧度,考查计算能力,属于基础题.

5．

【分析】由一元二次不等式的解法求解.

【详解】恒成立,原不等式可化为,即.

解得.

故答案为：

6．一或三

【分析】根据象限角的范围即可求出结果.

【详解】由题意知.

则.

当时,.

此时