第18讲　计数原理与概率（3大考点+强化训练）解析版.docx

第18讲计数原理与概率（3大考点+强化训练）

[考情分析]1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．

知识导图

考点分类讲解

考点一：排列与组合问题

解决排列、组合问题的一般过程：

(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；

(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．

规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．

【例1】(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．

【答案】64

【解析】①当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(种)；

②当从8门课中选修3门时，

(ⅰ)若体育类选修1门，则不同的选课方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24(种)；

(ⅱ)若体育类选修2门，则不同的选课方案共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24(种)．

综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．

【变式1】（2024·福建漳州·模拟预测）（????）

A．65 B．160 C．165 D．210

【答案】C

【分析】根据排列数、组合数的公式计算可得.

【详解】.

故选：.

【变式2】（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（????）

A．20种 B．10种 C．8种 D．6种

【答案】D

【分析】根据排列数的定义和公式，即可求解.

【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法.

故选：D

【变式3】（2024·四川凉山·二模）为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.

【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，

由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；

若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；

则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.

故选：D.

考点二：二项式定理

1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：

(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.

(3)代回通项公式即得所求．

2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．

规律方法二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ceq\o\al(k,n)是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．

【例2】（2024·贵州毕节·一模）二项式的展开式中含项的系数为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.

【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为

，

令，解得，

所以，

所以二项式的展开式中含项的系数为.

故选：B.

【变式1】（2024·辽宁大连·一模）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据表达式特征可知利用二项式定理的逆运用可得结果.

【详解】易知

.

故选：B

【变式2】（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（????）

A． B．64 C． D．32

【答案】A

【分析】设，利用赋值法计算可得.

【