微重点05数列的递推关系（2大考点+强化训练）原卷版.docx

微重点05数列的递推关系（2大考点+强化训练）

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．

知识导图

考点分类讲解

考点一：构造辅助数列

规律方法(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．

(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．

(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的数列，取倒数可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，构造等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通项公式．

(4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．

(5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．

【例1】（2024·陕西·二模）已知正项数列满足对任意正整数n，均有，，则（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）各项均为正数的数列，满足，，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（????）

A． B． C． D．

【变式3】(2023·吕梁模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于()

A．2100－3 B．2100－2

C．2101－3 D．2101－2

考点二:利用an与Sn的关系

规律方法在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．

【例2】（2024·山西吕梁·一模）设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则．

【变式1】（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（????）

A． B． C．0 D．4

【变式3】已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，eq\f(nan,2)，Sn－1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足bn＝1－eq\f(9,a\o\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq\f(89,176)，求正整数n的值．

强化训练

一、单选题

1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（????）

A．81 B．162 C．243 D．486

2．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足且，则的值为（）

A．3 B．2 C． D．

3．（23-24高三上·广东湛江·期末）在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．（2024·陕西西安·一模）记数列的前n项积为，且，若数列满足，则数列的前20项和为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·山西临汾·一模）已知数列满足：，设，则（????）

A． B． C． D．

6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知数列，满足，，，则（????）

A． B． C． D．

7．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设数列的前项和为，且，记为数列中能使成立的最小项，则数列的前2023项和为（????）

A． B． C． D．

8．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（????）

A．28 B．140 C．256 D．784

二、多选题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（）

A．数列的首项