第14讲　直线与圆（3大考点+强化训练）解析版.docx

第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）

[考情分析]1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．

知识导图

考点分类讲解

考点一:直线的方程

1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．

(2)要注意直线方程每种形式的局限性．

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．

【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.

【详解】当时，直线与平行；

当直线与平行时，

有且，解得，

故“”是“直线与平行”的充要条件，

故选：C

【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（???）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，即，所以，

当且仅当或时等号成立．

即的最小值为4，

故选：B

【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可.

【详解】由两直线垂直的判断条件，可知，

所以直线与始终垂直，

又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点，

所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上，

所以该圆的圆心坐标为，半径为，

圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点.

圆心到直线的距离，

所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，

又到直线的距离为，应舍去，

所以取值集合是.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解.

【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.

【答案】

【分析】根据题意设所求直线为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程

【详解】设所求直线方程为，

因为点在直线上，

所以，解得，

故所求直线方程为.

故答案为：

考点二:圆的方程

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.

【详解】的外接圆设为，

，解得，

外接圆方程为，即，

易知外接圆在处切线方程为，

又，令得，，，

在处切线方程为，

又，令得，，

则三角形的线的方程为，即

故选：B.

【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（????）

A．3 B．4 C．8 D．6

【答案】D

【分析】设圆的方程为，代入坐标得的值，即可得圆的方程，再令，即可求得与轴相交弦长.

【详解】设圆的方程为，代入点，，