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微重点02函数的公切线问题（4大考点+强化训练）

函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．

【知识导图】

【考点分析】

考点一：求两函数的公切线

规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

【例1】已知抛物线和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．

(1)a取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

【变式】（2023·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

考点二：与公切线有关的求值问题

规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．

【例2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，．

(1)若在处的切线也与的图象相切，求的值；

(2)若在恒成立，求的取值集合．

【变式】设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．

(1)用t表示a，b，c；

(2)若函数在上单调递减，求t的取值范围．

考点三：判断公切线条数

规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．

【例3】曲线C1：与曲线C2：y＝lnx公切线的条数是。

【变式】曲线C1：与曲线C2：()

A．0B．1C．2D．3

考点四：求参数的取值范围

规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．

【例4】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

【变式】若函数

【强化训练】

一、单选题

1．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”．下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（）

A． B．

C． D．

3．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（????）

A． B．

C． D．

4．（2021上·四川成都·高三成都七中期中）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2024上·山西运城·高二统考期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

6．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则．

7．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是.

8．（2024下·重庆·高二重庆一中校考开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是．

四、解答题

9．判断曲线与曲线的公切线的条数，并说明理由.

10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

11.已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.

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