（苏科版）数学八年级下册期末考点复习练习专题16 正方形折叠问题（解析版）.doc

专题16正方形折叠问题

【例题讲解】

如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．

(1)求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．

①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．

(3)当BE︰EC=时，DE=DG．

试题解析：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°．

∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，

∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，

∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，

∴△DGA≌△DGF，∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)=45°．

(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点

∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，

∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6

∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC∴BF∥DE．

②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，

∴GE=EF+GF=3+x．在Rt△GBE中，根据勾股定理得：

解得x=2，即线段AG的长为2．.

【综合演练】

1．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得，DF=DC=DA，∠DFG=∠A，进而Rt△ADG≌Rt△FDG，根据全等三角形的性质以及折叠的性质，可得到EB=EG，由此可得△BGE的周长．

【详解】解：由折叠可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），

∴AG=FG，

∴AG+EC=GF+EF=GE，

故①正确，

∵Rt△ADG≌Rt△FDG，

∴∠ADG=∠FDG，

由折叠可知，∠CDE=∠FDE，

∴∠GDE=∠GDF＋∠EDF=，

故②正确，

∵正方形的边长为12，

∴BE=EC=EF=6，

设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，

由勾股定理可得：，

即，

解得：x=4，

∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，

∴△BGE的周长=BE+EG+GB=6+10+8=24，

故③正确，

故选：D．

【点睛】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．

2．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（????）

A．8 B．9 C．12 D．以上都不正确

【答案】C

【分析】由图形翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由阴影部分的周长＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出结论．

【详解】解：由翻折变换的性质可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，

阴影部分的周长＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．

故选C．

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（???）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．

【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，

∴FB=AB=2，BM=1，

则在Rt△BMF中，

FM=，

故选B．

【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．

4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【答案】A

【详解】解：由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，

∴四边形ECDF是正方形，

∴DC=EC=BC-BE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=10，

∴DC=10-6=4（cm）

故