第10讲 空间几何体（3大考点+强化训练）解析版.docx

第10讲空间几何体（3大考点+强化训练）

[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．

知识导图

考点分类讲解

考点一：空间几何体的折展问题

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形．

(2)圆锥的侧面展开图是扇形．

(3)圆台的侧面展开图是扇环．

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．

【例1】(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为()

A．6eq\r(2)B．6eq\r(3)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)

【答案】C

【解析】沿侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图所示，则AA′即为△AEF周长的最小值，又因为∠AVB＝∠A′VC＝∠BVC＝30°，

所以∠AVA′＝3×30°＝90°，在△VAA′中，VA＝VA′＝8，由勾股定理得AA′＝eq\r(VA2＋VA′2)＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2).

【变式1】（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（????）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得.

【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，

显然弧的长为，弧的长为，设，则，，

则，即，得，于是是的中点，，

因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，

所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.

故选：B

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.

【详解】

??

设的中点为，连接（不与点重合），，，，

所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图，

在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，

在中利用余弦定理可得，

??

所以的周长的最小值为．

故选：B．

【变式3】（23-24高三上·广东揭阳·期末）已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（????）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设圆锥（底面积较小）的底面半径为，母线长为，圆锥（底面积较大）的底面半径为，母线长为，

依题意，

所以，

所以

，当且仅当时等号成立.

故选：B

考点二：表面积与体积

1．旋转体的侧面积和表面积

(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．

2．空间几何体的体积公式

(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．

(2)V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．

(3)V台＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．

(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．

规律方法空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．

(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．

(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．

【例2】(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为()

A．1B.eq\r(3)C．2D．3

【答案】A

【解析】如图，取AB的中点D，连接PD，CD，

因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，

所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，

所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，

又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，

所以PD⊥平面ABC，

所以