（人教版）数学七年级下册同步精品讲义5.3 平行线的性质 （解析版）.doc

5.3平行线的性质

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等；

几何符号语言：∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

ABCD

A

B

C

D

E

F

1

2

3

4

几何符号语言：∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

性质3：两直线平行，同旁内角互补.。

几何符号语言：∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补

模型一：铅笔头模型

【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E=360°

证明：过点C作CK∥AB（见拐点作平行线）

∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK

∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180°而∠C=∠1+∠2

∴∠B+∠C+∠E=360°

【铅笔头模型变形】

变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E=540°

证明：分别过点M、点N作OM∥AB,PN∥DE

∵AB∥DE∴AB∥DE∥OM∥PN

∴∠B+∠1=180°①，

∠2+∠3=180°②，

∠E+∠4=180°③

①+②+③得，∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=540°，

则∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°

变式二：若a∥b，则

∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）

模型二：锯齿模型

【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C

证明：过点C作CK∥AB

∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK

∴∠B=∠1①，∠E=∠2②

①+②得∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C

【锯齿模型变形】

变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N

证明：分别过点C，点M，点N分别作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB

∵AB∥DE∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ

∴∠B=∠1①，∠3=∠2②，∠4=∠5③，∠E=∠6④

①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6

即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N

变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。

?

【题型一】利用两直线平行判定同位角关系

【典题1】（2022秋·湖南邵阳·七年级期末）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（）

A． B． C． D．

【详解】解：如图，

∵a∥b，∠3=55°，

∴∠2=∠3=55°．

故选B．

巩固练习

1．（?）（2022秋·山西晋中·七年级期中）如图，直线的顶点在上，若，则（????）

A． B． C． D．

【详解】解：∵，

∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，

∵，

∴∠ADE=∠ABF=70°．

故选择A．

2．（?）（2022秋·浙江湖州·七年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（???）

A．40° B．43° C．45° D．47°

【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

∵直尺的两边互相平行，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

3．（?）（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（?????）

A．122° B．151° C．116° D．97°

【详解】解：∵AB//CD，∠1=58°，

∴∠EFD=∠1=58°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，

∵AB//CD，

∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．

故选：B．

4．（?）（2022秋·辽宁阜新·七年级期末）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（）

A．30° B．60° C．80° D．120°

【详解】解：∵AD∥BC，∠B＝30°，

∴∠EAD＝∠B＝30°，

∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠EAC＝2∠EAD＝2×30°＝60°，

∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，

故选：A．

【题型二】利用两直线平行判定内错角关系

【典题1】（2022秋·重庆·七年级校考期中）如图，，平分，若，则的度数为（）

A． B． C． D．

【详解】解：∵

∴

∵平分

∴

故选B．

巩固练习

1（?）（2022秋·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（???）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【详解】解：∵BE⊥AC，

∴∠BEC＝90°

∴∠CBE+∠C＝90°；

∵BE平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠CBE，

∴∠DBE+C＝90°；

∵，

∴∠DEB