（人教版）数学七年级下册同步精品讲义8.2 消元-解二元一次方程组 （解析版）.doc

8.2消元-解二元一次方程组

消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。

方法一：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

【基本思路】：未知数由多变少。

代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：（变?代?解?求?写?验）

①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。

②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。

③解：解一元一次方程

④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。

⑤写：写出方程组的解。

⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。

方法二加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：（变?加减?解?求?写?验）

①变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。

②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

③求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。

④回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。

⑤写解：写出方程组的解。

⑥检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。

方法三换元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。

例(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8解得m=6,n=2所以x=1

m-n=4所以x+5=6,y-4=2y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

解三元一次方程的基本步骤：

1.变形（变三元一次为二元一次）

2.求解：解二元一次方程组

3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程

4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数

5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。

?

【题型一】利用代入消元法/加减消元法解二元一次方程组

【典题】（2023春·湖南长沙·七年级期中）解方程组：

(1)

(2)

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；

（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．

【详解】（1）解：，

把①代入②得：，

解得，

把代入①得：，

则方程组的解为；

（2）解：，

由②得，③，

①+③得，，

解得，

把代入①得，，

解得，

则方程组的解为．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．

巩固练习

1．（?）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用代入消元法求解即可；

（2）利用加减消元法求解即可．

【详解】（1）解：，

把①代入②，得，

解得：，

把代入①，得，

所以原方程组的解是；

（2）方程组整理得：，

①②，得，

解得：，

把代入①，得，

所以原方程组的解是．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．

2．（?）（2022春·广东广州·七年级校联考期中）分别用代入法和加减法解方程组：．

【答案】

【分析】根据代入法和加减消元法解二元一次方程组即可求解．

【详解】解：代入法：

由①得：③，

将③代入②得，

解得：，

将代入③得，

∴原方程组的解为：；

加减法：

得：

解得：，

将代入③得，

∴原方程组的解为：

【点睛】本题考查了代入法和加减法解方程组，掌握代入法和加减法是解题的关键．

3．（?）（2022春·黑龙江大庆·七年级大庆市第六十九中学校考期末）（1）；

（2）；