第5讲　导数的综合应用（3大考点母题突破+强化训练）（原卷版）.docx

第5讲导数的综合应用

[考情分析]

1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.

2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．

【知识导图】

【考点分析】

考点一：导数与不等式的证明

规律方法利用导数证明不等式问题的方法

(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x))转化为证明f(x)－g(x)0(或f(x)－g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．

【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

[子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）.

(1)求函数的最小值；

(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.

[子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求；

(2)证明：.

【强化训练】

1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数.

(1)若在上单调递减，求的取值范围；

(2)若，求证：；

(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.

2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求；

(2)证明：.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，（），求证：．

考点二：恒成立问题与能成立问题

规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．

②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为af(x)max或af(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围．

(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．

[母题](2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－eq\f(sinx,cos3x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)sin2x，求a的取值范围．

子题1]（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程

(2)若对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.

[子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．

【强化训练】

1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数．

(1)当时，求的图象在点处的切线方程；

(2)若，求实数的取值范围．

2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为.

3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，．

(1)若恒成立，求a的取值集合；

(2)证明：．

4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求证：当时，对，不等式恒成立．

考点三：零点问题

规律方法(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤

①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．

②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．

③结合图象求解．

(2)已知零点求参数的取值范围

①结合图象与单调性，分析函数的极值点．

②依据零点确定极值的范围．

③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．

[母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.

(3)若在存在极值，求a的取值范围.

[子题1]单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

[子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数，其导函数为．

(1)求单调性；

(2)求零点个数．

【强化训练】

1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数，.

(1)若函数在上单调递增，求的最小值；

(2)若函数的图象与有且只有一个交点，