2025版高考数学一轮复习第六篇不等式必修5第3节二元一次不等式组及简单的线性规划问题习题理含解析.docVIP

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第3节二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题

【选题明细表】

学问点、方法

题号

二元一次不等式(组)表示的平面区域

2,6,8

线性目标函数的最值(或范围)

1,3,7

非线性目标函数的最值(或范围)

4,13

含参数的线性规划问题

5,12

线性规划的实际应用与综合应用

9,10,11

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2024·全国Ⅱ卷)设x,y满意约束条件

则z=2x+y的最小值是(A)

(A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9

解析:先作出满意约束条件的平面区域.

因为z=2x+y,所以y=-2x+z,

向下平移,过A点时z最小,z=2×(-6)-3=-15.选A.

2.(2024·梅州模拟)在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为(B)

(A)2 (B) (C) (D)2

解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得A(,),B(3,4),C(1,0),D(-1,0),故S△ABC=×CD×(4-)=×2×=.

3.(2024·全国Ⅲ卷)设x,y满意约束条件

则z=x-y的取值范围是(B)

(A)[-3,0] (B)[-3,2]

(C)[0,2] (D)[0,3]

解析:作出可行域和直线l:y=x平移直线l,当过点M(2,0)时,zmax=

2-0=2,当过点N(0,3)时,zmin=0-3=-3,所以z的范围是[-3,2],故选B.

4.(2024·宜昌模拟)设实数x,y满意不等式组则ω=的取值范围是(B)

(A)(-,1) (B)［-,1)

(C)(,1) (D)［,1)

解析:作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,由于可以看作直线的斜率形式,于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A(-1,1)连线的斜率最大、最小问题.

如图,当直线过点B(1,0)时,斜率最小,此时ω==-;

当直线与x-y=0平行时,斜率最大,此时ω=1,但它与阴影区域无交点,取不到.故ω=的取值范围是［-,1］.故选B.

5.(2024·上饶模拟)x,y满意约束条件

若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(D)

(A)或-1 (B)2或

(C)2或1 (D)2或-1

解析:作出可行域(如图),为△ABC内部(含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一可知:线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合.由kAB=-1,kAC=2,kBC=可得a=-1或a=2或a=,验证:a=-1或a=2时,成立;a=时,不成立.故选D.

6.(2024·泉州模拟)已知M,N是不等式组

所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是(B)

(A) (B) (C)3 (D)

解析:由题意作出可行域,如图所示.当|MN|=|AC|或|MN|=|BD|时,|MN|能取得最大值.可求得A点坐标为(,),B点坐标为(1,2),C点坐标为(1,1),D点坐标为(5,1),

所以|AC|===,

|BD|==.

因为,所以|MN|的最大值为.故选B.

7.(2024·浙江卷)若x,y满意约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是.?

解析:不等式组所表示的平面区域如图所示,当时,z=x+3y取最小值,最小值为-2;当时,z=x+3y取最大值,最大值为8.

答案:-28

8.(2024·台州模拟)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域内一动点,则|OM|的最小值是.?

解析:不等式组表示的平面区域如图所示,

|OM|表示区域内的点到坐标原点的距离,其最小值为O到直线x+y-2=0的距离,

所以|OM|min==.

答案:

实力提升(时间:15分钟)

9.(2024·宿州模拟)某旅行社租用A,B两种型号的客车支配900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为(C)

(A)31200元 (B)36000元

(C)36800元 (D)38400元

解析:设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z元,

则即

画出可行域(图中阴影区域中的整数点),

则目标函数z=1600x+2400y在点N(5,12)处取得最小值36800元.

10.(2024·盐城模拟)已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满意不等式x2+y2≤2的概率为(D)

(A) (B) (C) (D)

解析:画出平面区域Ω,即△OAB的内部及边界,x2+y2≤2表示的区域为以原点O为圆心,半径为的圆的内部及边界,如图,

由得A(4,-4).

由得B(,).

则