培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）解析版.docx

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．

知识导图

考点分类讲解

考点一：向量极化恒等式

极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.

变式：(1)a·b＝eq\f(?a＋b?2,4)－eq\f(?a－b?2,4)，

a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).

(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.

规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．

【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．

【答案】[39,55]

【解析】由向量极化恒等式知

eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.

又△ABC是边长为8的等边三角形，

所以当点P位于点A或点C时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.

当点P位于AC的中点时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，

即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，

所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(3)，8]，

所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围为[39,55]．

【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

考点二:平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.

易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．

【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.

【详解】由得，

由得，

根据平面向量基本定理可得，，

所以，，

延长交于，延长交于，

则，又，所以，

所以为的平分线，

同理可得是的平分线，

所以为的内心.

故选：B

【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心