精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（解析版）.docx

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交大附中高三12月数学诊断性练习

2024.12

一、选择题（每题4分，共40分）

1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.

【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，

由共轭复数的定义可知，.

故选：D

2.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得结论.

【详解】因为函数在上为减函数，所以，即；

又函数在上为增函数，所以；

函数在上为增函数，所以，

综上可得：.

故选：B.

3.已知函数，，则“”是“的值域为”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.

【详解】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；

必要性：函数的最小正周期为，

因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.

因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：

（1）定义法；

（2）集合法；

（3）转化法.

4.已知a，b为直线，为平面，①，则；②，则；③，则；④，则．以上结论正确的是（）

A.①② B.①④ C.③④ D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】由点、线、面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于①，若，由直线与平行垂直的性质定理可得，故①正确；

对于②，若，由直线与平行垂直的性质定理可得，故②正确；

对于③，若，则可能平行或相交，故③错误；

对于④，，则可能，故④错误.

故选：A.

5.过双曲线的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得，结合，可求出，即可得出答案.

【详解】中，，

又因为，，所以.

根据题意有：，即离心率.

故选：C.

6.已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可.

【详解】因为圆，圆心为，半径为，即

因为为直角三角形，所以,

设圆心到直线的距离为，

由弦长公式得，所以，化简得.

故选：A.

7.与双曲线有两个交点的直线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，

当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，

故CD与双曲线只有一个交点错误；

对于A，联立，可得：，无解，故A错误；

对于B，联立，可得：，

Δ=8102

故选：B.

8.已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】将代入抛物线的方程求出，将代入椭圆的方程求出，可得，结合，即可得出答案.

【详解】抛物线焦点，不妨设在一象限，

令，则，所以，

令代入可得：，

所以，所以，所以，

所以，即，解得：或（舍去），

故选：C.

9.已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）

A. B. C.4 D.8

【答案】D

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出，由数量积的定义结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】设交于点，

因为以B为圆心的圆与直线相切，所以半径，

建立如下图所示的直角坐标系，可得圆：，

则，，

所以，

所以

，，

当，即，则的最大值是.

故选：D.

10.正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（）

A.π B. C. D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得点P在线段上，又因为，在线段上取点，连接，使得，可知点P的轨迹为线段，求出的长即可得出答案.

【详解】取是的中点，是的中点，如下图，

连接，由正方体的性质知，因为平面，

平面，所以，

又因为，所以，

因为P是平面内的一个动点，且P到和的距离相等，

所以点P在线段上，

又因为点M是的中点，满足，

所以在线段上取点，连接，使得，

取的中点，连接，，

此时，

，

所以点P