数学 必修第二册（配人教版）课件 第八章　8.6　8.6.3　第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理.pptx

;整体感知;[讨论交流]预习教材P155－P158的内容，思考以下问题：

问题1．二面角的定义是什么？如何表示二面角？

问题2．二面角的平面角的定义是什么？二面角的范围是什么？面面垂直是怎样定义的？

问题3．面面垂直的判定定理的内容是什么？;;探究建构;[新知生成]二面角

1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

2．画法：;3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q．

4．二面角的平面角：

(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，

以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．;【教用·微提醒】1．二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．

2．构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．;[典例讲评]1．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．

(1)求二面角B-PA-D的平面角的大小；

(2)求二面角B-PA-C的平面角的大小．;[解](1)∵PA⊥平面ABCD，

∴AB⊥PA，AD⊥PA，

∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．

又由题意知∠BAD＝90°，

∴二面角B-PA-D的平面角为90°．

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，

∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角为45°．;反思领悟求二面角的平面角的大小的步骤

(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．

(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．

(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．

(4)结论．;√;?;【教用·备选题】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出三个角∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是________．;探究2平面与平面垂直的定义和判定

探究问题2教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面所构成的二面角是多大？墙面与地面所在的平面的位置关系是什么？;探究问题3如图，为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？;[新知生成]

1．平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β．

(2)画法：;2．面面垂直的判定定理;?;?;角度2判定定理法判定平面与平面垂直;[证明]∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，

∴AA′⊥平面ABCD，∴AA′⊥BD．

又BD⊥AC，AA′∩AC＝A，

∴BD⊥平面ACC′A′，

∴平面A′BD⊥平面ACC′A′．;例8如图8.6-28，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．

分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂

直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一

条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂

直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平

面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC．;[证明]∵PA⊥平面ABC，

BC?平面ABC，

∴PA⊥BC．

∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，即BC⊥AC．

又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

∴BC⊥平面PAC．

又BC?平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．;[典例讲评]3．(源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．;[证明]因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，BD，DC?平面BDC，所以AD⊥平面BDC．

因为AD?平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BDC．

已知∠BDC为直角，

所以BD⊥DC．

又AD∩DC＝D，AD，DC?平面ADC，因此BD⊥平面ADC．

因为BD?平面ABD，

所以平面ADC⊥平面ABD．;反思领悟证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：说明两