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《积的近似数》

课程导入在日常生活中，我们经常会遇到需要近似计算的情况。例如，当我们测量一个物体的长度时，由于测量工具的精度限制，我们只能得到一个近似值。在本节课中，我们将学习如何利用积分的近似计算方法来获得积分的近似值，并应用这些方法解决实际问题。

积的定义积分定义积分是微积分中的一个重要概念，它用来计算曲线下面积、体积、曲面面积等。积分符号积分符号表示积分运算，∫表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。

积的初等性质交换律a×b=b×a结合律(a×b)×c=a×(b×c)分配律a×(b+c)=a×b+a×c

积的应用计算面积积可以用来计算曲线下方的面积。计算体积积可以用来计算旋转体积。计算弧长积可以用来计算曲线的弧长。

积分的近似计算数值积分对于无法用解析方法求解的积分，数值积分提供了一种近似计算方法。矩形法用矩形面积近似代替曲线下面积。梯形法用梯形面积近似代替曲线下面积。辛普森公式用抛物线面积近似代替曲线下面积。

矩形法1基本原理将曲线下区域分成若干个矩形2近似值用矩形面积之和逼近曲线下区域面积3误差分析矩形高度的选择影响误差大小矩形法是一种常用的近似计算积分的方法。它利用矩形面积的累加来逼近曲线下区域的面积。该方法易于理解，但精度取决于矩形高度的选择。

梯形法1分割将积分区间分成n个等份2近似用梯形面积近似表示每个小区间的积分值3求和将n个梯形面积加起来，得到积分的近似值

辛普森公式1公式∫abf(x)dx≈h/3*[f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+...+2f(b-2h)+4f(b-h)+f(b)]2应用辛普森公式是一种常用的数值积分方法，它可以用于近似计算积分的数值解。3优点辛普森公式比梯形公式精度更高，并且可以处理更复杂函数的积分。

复合积分公式定义复合积分公式将积分区间分成多个子区间，在每个子区间上使用一个近似公式，然后将所有子区间的近似值加起来得到整个积分的近似值。常见公式复合矩形公式、复合梯形公式、复合辛普森公式等。应用复合积分公式可以用于计算更复杂的函数积分，提高计算精度。

误差分析相对误差近似值与精确值的差值与精确值的比值。绝对误差近似值与精确值的差值。误差界限绝对误差的上限。

积的几何意义积的几何意义可以用图形来表示，例如曲线下的面积可以用积分来计算。积分的几何意义就是求曲线的面积。

曲线下面积的计算1定积分利用定积分计算曲线下面积是数学分析中重要内容2牛顿-莱布尼茨公式利用牛顿-莱布尼茨公式将定积分转化为求导数问题3数值积分对于无法求出原函数的情况，可以使用数值积分方法近似计算

曲面积的计算1表面积计算三维物体表面积的总和。2积分利用积分公式来计算曲面积。3公式根据物体形状和公式进行计算。

体积的计算1旋转体旋转体是指将一个平面图形绕其平面内的一条直线旋转一周所形成的立体图形。体积计算常用积分方法。2规则图形对于规则图形，如球体、圆锥体、圆柱体等，可以用公式直接计算体积。3不规则图形对于不规则图形，可以用微积分方法或近似方法来计算体积。

曲线的弧长计算1积分公式使用积分公式计算曲线弧长2参数方程将曲线表示为参数方程3微元法将曲线分割成无数个微元

工程应用示例1桥梁建造桥梁建造中需要计算桥梁的结构强度和稳定性，积分可以用来计算桥梁的受力情况和变形程度。水坝建造水坝建造中需要计算水坝的容积和承受的水压，积分可以用来计算水坝的蓄水量和承受的压力。

工程应用示例2在桥梁设计中，利用积分可以计算桥梁的承载能力。通过积分计算桥梁横截面的面积，并结合材料强度，可以得出桥梁的承载极限。

工程应用示例3积的近似数在实际工程中有着广泛的应用，例如计算桥梁的跨度，高楼的承载能力，以及水坝的容积等等。积的近似数可以帮助工程师们更好地理解和预测结构的性能，从而提高工程的安全性，可靠性和经济效益。

重要公式汇总1积分的定义∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)=f(x)2牛顿-莱布尼兹公式∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)3微积分基本定理∫a^bf(x)dx=lim(n→∞)Σi=1^nf(xi)Δx4换元积分法∫f(u(x))u(x)dx=∫f(u)du

思考题1如何判断一个函数在给定区间上的积分是否存在？如果存在，如何求出该函数在该区间上的积分？

思考题2某公司生产了一种新型产品，为了确定产品的最佳售价，公司进行了市场调查。调查结果显示，当售价为每件80元时，每天可售出500件；当售价为每件100元时，每天可售出400件。假设产品的销售量与售价之间呈线性关系，试问：1.写出产品的销售量y与售价x之间的函数关系式。2.若该公司希望每天的销售额达到最大，产品的最佳售价应为多少？