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(完整word版)线性代数教案

目录课程介绍与教学目标行列式与矩阵基础向量空间与线性变换方程组求解与矩阵秩特征值与特征向量二次型与正定矩阵数值计算与误差分析

01课程介绍与教学目标

线性代数课程简介010203线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换、矩阵等概念和性质。线性代数不仅是数学专业的基础课程，也是理工科各专业的重要数学工具。通过本课程的学习，学生将掌握线性代数的基本理论和方法，培养抽象思维和逻辑推理能力。

010203知识目标掌握向量空间、线性变换、矩阵等基本概念和性质；理解线性方程组的解法、特征值与特征向量、二次型等重要内容。能力目标能够运用线性代数知识解决实际问题；具备初步的科研能力和创新能力。素质目标培养学生的数学素养和抽象思维能力；提高学生的综合素质和创新能力。教学目标与要求

《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。教材《线性代数及其应用》，DavidC.Lay著，机械工业出版社；《线性代数学习指导》，李尚志编著，高等教育出版社。参考书目教材及参考书目

02行列式与矩阵基础

行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。行列式定义及性质

行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。互换行列式的两行（列），行列式变号。行列式定义及性质

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一列（行）的元素分别为这两数之一，其余各列（行）元素与原行列式的对应列（行）元素相同。行列式定义及性质

矩阵的概念：由m×n个数排成m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：A=(aij)m×n，其中aij为矩阵A中第i行第j列的元素。矩阵的运算规则矩阵的加法：两个矩阵只有当它们的行数相等且列数也相等时才能进行加法运算。数与矩阵相乘：数乘矩阵是指用一个数乘以矩阵的每一个元素。矩阵的乘法：两个矩阵只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算。矩阵的转置：把矩阵A的行和列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。矩阵概念及运算规则

方阵行数与列数相等的矩阵称为方阵。零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。特殊矩阵类型及其性质

除主对角线外的元素都为零的方阵称为对角矩阵。对角矩阵主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的方阵称为单位矩阵。单位矩阵若方阵A满足AT=A，则称A为对称矩阵。对称矩阵特殊矩阵类型及其性质

反对称矩阵：若方阵A满足AT=-A，则称A为反对称矩阵。特殊矩阵类型及其性质

特殊矩阵的性质零矩阵是任何矩阵的零元，即A+0=A，0+A=A，k0=0(k为任意数)。单位矩阵是方阵的幺元，即AI=A，IA=A。特殊矩阵类型及其性质

0102特殊矩阵类型及其性质对称矩阵和反对称矩阵都是方阵，且它们的转置矩阵分别为它们本身和它们的负矩阵。对角矩阵的乘法运算较为简单，只需将对角线上的元素相乘即可。

03向量空间与线性变换

设V是一个非空集合，P是一个数域，若对V中任意两个元素α与β，总有唯一元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记为γ=α+β，且在加法运算下V封闭；又对P中任意数与V中任意元素α，总有唯一元素δ∈V与之对应，称为该数与α的积，记为δ=kα(k∈P)，且在数乘运算下V封闭，则称V是数域P上的线性空间，或向量空间。向量空间定义向量空间具有8条基本性质，包括加法交换律、加法结合律、零元存在性、负元存在性、数乘分配律、数乘结合律、数乘单位元存在性以及数乘零元存在性。向量空间性质向量空间概念及性质

线性变换定义设V和W是数域P上的两个线性空间，σ是V到W的一个映射，若对V中任意元素α、β和P中任意数k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V到W的一个线性映射或线性变换。线性变换性质线性变换具有保持向量加法与数乘运算的性质，即若σ是V到W的一个线性变换，则对V中任意元素α、β和P中任意数k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)。此外，线性变换还具有把零向量映射为零向量、把负向量映射为负向量等性质。线性变换定义及性质

设V是数域P上的线性空间，若V中存在n个线性无关的向量α1,α2,...,αn，使得V中任意向量α都可以由它们线性表示出来，即存在一组数k1,k2,...,kn∈P，使得α=k1α1+k2α2+...+knαn，则称向量组α1,α2,...,αn为V的一个基。向量空间基设V是数域P上的线性空间，若V中存在一个由n个向量组成的基，且任意n+1个向量都