多元函数微分法及其应用习题课.ppt

习题课（二）第八章多元函数的微分法及其应用习题课（二）第八章多元函数的微分法及其应用第八章习题课（二）01空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与02法线03设曲线参数方程为04在对应05处的切点：06切向07切线方程08法面方程-*-如果曲线的方程为切点为可以视方程中的y,z为x的函数，求得切向量或者视方程中的x,z为y的函数，求得切向量如果曲面方程为1切点为2法向为3切面方程为4法线方程为使该曲线过该点的切线平行于平面例1在曲线上求一点P，并写出切线方程。解该曲线的切向量已知平面法向量由于所以因此所求点或切线方程为或求曲线例2在点处的切线与法平面方程。解法一两边对y求导，因此切向量切线方程或法平面方程或解法二先求曲面在点处的切平面方程，令则在点处切面方程为即所以所求的切线方程为其方向向量为所求曲线的法平面方程的法向量为求过直线例3且与曲线在点处的切线平行的平面方程。解过已知直线的平面束方程为其法向量为曲线方程两边对x求导得即因此已知曲线在点处切向量4代入平面束方程5由于1因此2所以3得所求平面方程为6为可微函数，例4设且曲面通过点求曲面过该点的切平面与法线方程。解令则曲面方程为因此曲面在点的法向量切平面方程或法线方程或例5证明曲面上任意一点处的切平面在三个坐标轴截距的平方和为常数。证设为曲面上任意一点，则令令则曲面在处的法向量为切平面方程截距式方程即所以证明曲面例6上任意一点处的切平面都通过原点.证设曲面上任意一点为由于所以曲面在点P处法向量为切面方程为所以切平面过原点。即设函数一阶偏导数连续，方向l的方向余弦为则u在点M处沿l方向的方向导数为梯度为且指向函数u的函数值增加的一方。函数u在点M处取最大方向导数的方向。其模为最大方向导数函数u在点M处梯度的方向为函数u过点M的等值面的法向，函数u在点M处梯度的方向为二方向导数与梯度求函数例7在点处沿点A指向点方向的方向导数。解例8求函数在点处的最大方向导数，沿x轴负向的方向导数。及其取最大方向导数的方向，在点处解根据梯度的定义，梯度的方向为取最大方向导数的方向，梯度的模为最大方向导数。所以取最大方向导数的方向为沿x轴负向的方向导数为曲面在点例9求函数在点处沿曲面在此点处沿内法向的方向导数。解处的法向为内法向所以例10求函数在点处沿曲线在此点的内法线方向的方向导数。因此法线方向为因为曲线的斜率为所以法线的斜率为解法一内法线方向为所以解法二曲线在点P处的内法向刚好为函数过点P的等值线的法向，且指向函数值z增加的方向，由梯度的几何意义知三函数的极值，最值，拉格朗日乘子法偏导数存在函数的极值点一定是驻点。如果为函数的驻点，且若当时，为极大值点，当时，为极大值点，若不是极值点。求有界闭区域D上的最值即为比较D的内部的驻点的函数值与D的边界上的最值的大小。函数在条件下的极值一定是的极值。求函数例11的极值。解得驻点当时，与因此函数在点处取极大值当时，因此函数在点处不取极值求函数例12在闭区域的最大、最小值。解得的驻点下面求函数在上最值，即求的最值，最小值（当时，最大值（当时，而因此习题课（二）第八章多元函数的微分法及其应用习题课（二）第八章多元函数的微分法及其应用