2024_2025学年高中数学第1章立体几何初步1_7_3球学案北师大版必修2 .pdf

7.3球

援课前自主预习—

E］要点梳理

1.球的截面

(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作

球的小圆.

(2)球的截面性质

①球的截面是圆面.

②球心和截面圆心的连线垂直截面.

③球心到截面的距离d与球的半径及截面圆半径广有如下关系：广=寸厂万.

2.球的切线

(1)当直线与球有虹交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点.

(2)过球外一点的全部切线的长度都相等.

3.球的表面积和体积

(1)球的表面积公式S球面=4兀京(为球的半径).

4

(2)球的体积公式/球=5兀矿

E］思考诊断

推断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)两个球的半径之比为1：3,则其表面积之比为1：9.()

(2)经过球心的平面截得的圆的半径等球的半径.()

(3)用随意平面截球，所得截面都是圆.()

［答案］(1)V(2)V(3)V

四课堂互动探究■________________________________________

题型一球的表面积和体积

32ji

【典例1】(1)球的体积是一二，则此球的表面积是()

0

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为

［思路导引］(1)求球的半径是求球表面积与体积的关键.

(2)利用体积相等，求大球半径.

432ji

［解析］(1)§兀侦=丁，故#=2,球的表面积为4兀岸=16兀.

⑵两个小铁球的体积为2X^11X13=耳，即大铁球的体积为§兀X^=号，所以半径

为迥

［答案］(DB⑵噩

〉巾亍I

解决球的表面积和体积时留意两点

(1)一个关键

4

抓住球的表面积公式S球=4兀#,球的体积公式/球=5是计算球的表面积和体积的

关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎

刃而解了.

(2)两个结论

①两个球的表面积之比等这两个球的半径之比的平方；

②两个球的体积之比等这两个球的半径之比的立方.

［针对训练1］(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()

A.2倍B.2展倍C.吏倍D.也倍

(2)一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()

2兀6

［解析］(1)球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的审倍，体积扩大到原来的

2带倍.

⑵设正方体的边长为s球的半径为R,则6=4兀京.则草=耳，则«=

zio4o

［答案］(DB(2)A

题型二球的截面

【典例2】在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49兀ck和400兀cm2,求

此球的表面积.

［思路导引］用平面去截球体，所得截面是圆面，截面圆心与球心的连线与截面垂直,

这就构造了直角三角形.

［解］(1)若两截面位球心的同侧.

解法一：如图(1)所示的是经过球心。的大圆截面，C,G分别是两平行截面的圆心，设

球的半径为R河截面圆的半径分别为rcm,Ticm.

由jin=49Ji,得n=7(ri=—7舍去)，

由ji=400Ji,得r=20(r=—20舍去).

在Rt△昭G中，OG=.HT=.R—49,

在RtAOBC中，%=寸