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考前回顾05立体几何与空间向量（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年必威体育精装版模拟）

知识清单

1．柱、锥、台、球体的表面积和体积

侧面展开图

表面积

体积

直棱柱

长方形

S＝2S底＋S侧

V＝S底·h

圆柱

长方形

S＝2πr2＋2πrl

V＝πr2·l

棱锥

由若干个三角形构成

S＝S底＋S侧

V＝eq\f(1,3)S底·h

圆锥

扇形

S＝πr2＋πrl

V＝eq\f(1,3)πr2·h

圆台

扇环

S＝S上＋S下＋S侧

S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

V＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上S下)＋S下)h

V＝eq\f(1,3)π(r′2＋r′r＋r2)h

球

S＝4πr2

V＝eq\f(4,3)πr3

2.外接球、内切球问题

(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长．

(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R外接球∶r内切球＝3∶1.

(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点．

(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体．

(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.

(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线．

(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心．

3．直观图与斜二测画法

(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法．斜二测画法的规则为“平行要保持，横长不变，纵长减半．”

(2)任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝eq\f(\r(2),4)S.

4．平行、垂直关系的转化示意图

(1)

(2)两个结论

①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.

5．用空间向量证明平行、垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：

(1)线面平行

l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β?u∥v?u＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

6．用向量法求空间角

(1)直线l1，l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈a，b〉|(其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量)．

(2)直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈a，n〉|(其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．

(3)平面α与平面β的夹角为θ，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．

易错提醒

1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a?α.

2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数eq\f(1,3).

3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．

4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系．

5．几种角的范围

两条异面直线所成的角：0°θ≤90°；

直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°；

平面与平面的夹角：0°≤θ≤90°.

6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．

易错分析

易错点1忽视组合体重叠部分致误

1.[山东日照2023一模]每逢春节人们会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图①，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如图②，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图①，已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆的直径为，若要用布料将灯笼全部包围，则所需布料的面积为（）