2025春 南方新课堂 金牌学案 数学 选择性必修第三册（配人教版）高考2021-2024真题汇总 2023年普通高等学校招生全国统一考试·上海卷.docx

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·上海卷

数学

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)

1．不等式|x－2|1的解集为________．

{x|1x3}[由|x－2|1得－1x－21，即1x3，故不等式|x－2|1的解集是{x|1x3}．]

2．已知a＝(－2，3)，b＝(1，2)，则a·b＝________．

4[a·b＝－2×1＋3×2＝4．]

3．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________．

189[S6＝3×1-261-2＝3×(26－

4．已知tanα＝3，则tan2α＝________．

－34[tan2α＝2tanα1-

5．已知函数f(x)＝2x，x01，x≤0，则

[1，＋∞)[当x0时，f(x)＝2x单调递增，f(x)1；当x≤0时，f(x)＝1．故f(x)的值域为[1，＋∞)．]

6．已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________．

5[∵z＝1＋i，∴1－i·z＝1－i(1＋i)＝1－i＋1＝2－i，∴|1－i·z|＝|2－i|＝5．]

7．已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________．

－3[由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，故半径r＝m+4，∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3．

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝________．

74[由余弦定理的推论得cosA＝b2+c2-a22bc＝52+62

9．国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元．

946[依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，四个季度GDP数据的中位数为12(a2＋a3)，平均数为14(a1＋a2＋a3＋a4)，则12(a2＋a3)＝14(a1＋a2＋a3＋a4)，∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故该市2020年的GDP总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)＝946(

10．已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak0时，k的最大值为________．

49[xk的系数为ak＝C100k2023k+C100k2023100-k(－1)k＝C100k2023k[1＋2023100-2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak0，则k必为奇数，且2023100-2k1，∴100－2

11．公园欲修建一段斜坡，假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为(1.025－cosθ)，要使从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则θ＝________．

arctan940或arccos4041或arcsin941[法一：易求斜坡的长度为4sinθ0θπ2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025-cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T2+42sin(θ＋α)＝4.1，其中锐角α满足tanα＝4T，∴T2+42≥4.1，得

法二：易求斜坡的长度为4sinθ0θπ2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025-cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1-4cosθsinθ，设t＝tanθ2，则t＝sinθ2cosθ2＝2sin2θ22sinθ2cosθ2＝1-cosθsinθ，结合sin2θ＋cos2θ＝1，可得sinθ＝2t1+t2，cosθ＝1-

法三：易求斜坡的长度为4sinθ0θπ2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025-cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1-4cosθsinθ，则T′＝4sin2θ-4.1-4cosθcosθsin2θ4-4.1cosθsin2θ，令T′＝0，得cosθ＝4041，θ＝arccos4041，当cosθ40

12．已知空间中的三点A，B，C满足AB＝AC＝BC＝1，在空间中任取不同的两点(不计顺序)，使得这两点与点A，B，C可以组成正