2025春 南方新课堂 金牌学案 数学 选择性必修第三册（配人教版）高考2021-2024真题汇总 2024年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国Ⅱ卷.DOCX

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2024年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国Ⅱ卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知z＝－1－i，则|z|＝()

A．0 B．1

C．2 D．2

C[若z＝－1－i，则|z|＝-12+-12＝

2．已知命题p：?x∈R，|x＋1|1；命题q：?x0，x3＝x.则()

A．p和q都是真命题

B．?p和q都是真命题

C．p和?q都是真命题

D．?p和?q都是真命题

B[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝01，故p是假命题，?p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，?q是假命题．综上，?p和q都是真命题．故选B.]

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()

A．12 B．2

C．32 D．

B[因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，

即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，

所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝22.故选

4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：

亩产量

[900，950)

[950，1000)

[1000，1050)

[1050，1100)

[1100，1150)

[1150，1200)

频数

6

12

18

30

24

10

根据表中数据，下列结论中正确的是()

A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

C[对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝3650，

所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误；

对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24＋10＝34，

所以低于1100kg的稻田占比为100-34100＝66%，故B

对于C，稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，故C正确；

对于D，平均值为1100×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D错误．故选

5．已知曲线C：x2＋y2＝16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为()

A．x216+y24＝1(y0) B

C．y216+x24＝1(y0) D

A[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，

又P在曲线C上，

所以x02+4y02＝16(y00)，即x

即点M的轨迹方程为x216+y24

6．设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝()

A．－1 B．12

C．1 D．2

D[法一：令f(x)＝g(x)，

即a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，可得ax2＋a－1＝cosx，

令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cosx，

原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，

注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2.

若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cosx＝0，

因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，

可得2x2＋1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，

则方程2x2＋1－cosx＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，

所以a＝2符合题意．

综上所述，a＝2.

法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，

则h(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，

即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2.

若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1，1)，

又因为2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，

可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成