高一上学期期末数学新定义压轴汇编02保值区间及应用.docx

高一上期期末新定义压轴汇编

2.保值区间及应用

一．基本原理

保值(倍值)区间的定义:对于区间,若函数的定义域为时,其值域也为,则称该区间为的保值区间;若时,其值域为,则称为“倍值函数”,区间为函数的“倍值区间”.

这类问题的关键是讨论函数在区间上的单调性，如果有递增，我们就能得到同构方程，反之就有：，再转化为一个一元二次方程根的分布来解决.

二．典例分析

例1．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．

（1）求函数的所有“保值”区间．

（2）函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．

解析：（1）函数在上单调递增，在上单调递减，

令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或，

当时，在区间上单调递增，则，即，

于是是方程，即的两个不同的非正实根，

显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；

当时，在区间上单调递减，则，即，则有，

所以函数的“保值”区间为.

（2）令，显然函数在上单调递增，

由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增，则，即是方程，即的两个同号的不等根，于是，解得，且，因此，当且仅当时取等号，

所以当时，取得最大值.

例2．已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）试判断的单调性，并说明理由；

（3）定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围．

解析：（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，所以函数的定义域是．

（2）在上单调递增．理由如下：法一：

因为，

又在上为增函数，在上为减函数，

在上为增函数，在上为增函数，

故在上单调递增．

法二：

因为，对任意，，且，可知，则，

又，可知，所以，即．故在上单调递增，

（3）由（2）可知在上单调递增，设区间是函数的“完美区间”．则，．可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，

所以与在上至少存在两个不同的交点．令，则，

所以，当且仅当时，取等号．

又在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，．所以．故实数b的取值范围为．

例3．对于定义域为D的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“保值区间”.

（1）判断函数和函数是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”（直接写出结论，不要求证明）；

（2）如果是函数的一个“保值区间”，求的最大值.

解析：（1）假设函数存在“保值区间”为，易知在上单调递增，则有得或，或，又即，但，不符合题意，舍去，故不存在保值区间；而是增函数，假设其存在“保值区间”为，则有，得，，故存在“保值区间”为.

（2）易知在和上都是增函数，因此保值区间或，由题意，所以有两个同号的不等实根，，由，所以，解得或，且，同号，，满足题意，所以，

因为或，所以当，即时，.故的最大值是.

例4．若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．

（1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；

（2）求函数在内的“区间”；

（3）设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析：（1）结合题意可得：，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，，当或时，，故此时函数的值域为，而此时所以区间不是函数的一个“区间”.

（2）设的“区间”为,则的值域为，此时在单调递减，则，解得，

所以的“区间”为.

（3）由（2）知在上的“区间”为,当时，则，而函数在上的值域为，以在上不存在这样的区间，所以在上满足条件的区间为，由，可得函数为奇函数，同理易得：当，的“区间”为，所以，要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解,则当，，即

且在单调递减;当，，即.因为,所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解.