专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）（教师版） .pdf

专题7.5离散型随机变量的数字特征(重难点题型精讲)

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1.离散型随机变量的均值

⑴定义

一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：

XIXjx2x„

PP\Pl|…Pn

则称E(X)=XiP1+x2p2+•••+%.‘,.+•••+%B为离散型随机变量X的均值或数学望，数学望简称

望，它反映了随机变量取值的平均水平.

(2)对均值(望)的理解

求离散型随机变量的望应注意：

①望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

②顼X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是

不变的，它描述X取值的平均状态.

③均值与随机变量有相同的单位.

2.均值的性质

若离散型随机变量X的均值为E(X),Y=aX+b,其中。力为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且

E(y)=E(QX+ZO=QE(X)+Z?.

特别地，当。二0时，E(b)=b；

当q=1时，E(X+b)=E(X)+b；

当人二0时，E(qX)=qE(X).

3.离散型随机变量的方差、标准差

⑴定义

设离散型随机变量X的分布列为

X-V|x2…V,…

PP\P2…jP.IPn

n

则称D(X)=(1-E(X))2pi+(2—E(X)Tp2+•••+(—E(X)Tr=£(》,一E(^))2为随机变量X

的方差，并称为随机变量X的标准差，记为。(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程

度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

4.方差的有关性质

当s人均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).

特别地，当。二0时，D(b)=0；当。=1时，D(X+b)=D(X)；

当人二0时，D(aX)=a2D(X).

5.两点分布的均值与方差

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=Ox(l-p)+lxp=p.

」.□Ml—

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【题型1均值的性质】

【方法点】

根据均值的性质，进行求解即可.

【例1】(2022春•广东广州•高二末)设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2,P(X=l)=0.6,P(X=2)=0.2,

则E(2X-3)=()

A.2B.1C.-1D.-2

【变式1-1](2022春.北京大兴.高二末)已知离散型随机变量X的望E(X)=1,贝怔(2X+1)等于()

A.1B.2C.3D.4

【变式1-2](2022春•河北保定•高二阶段练习)已知随机变量(0)满足5(2-3g)+E2(f)=6,则E(g)=

()

A.—1或4B.2C.3D.4

【变式1-3】(2022春•江苏镇江•高二中)已知X的分布列为：

X-101

11

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