高斯公式和斯托克斯公式.ppt

第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日定理22.3设空间闭区域V由分片光滑的在V上有连续的一阶偏导数,则有闭曲面S所围成,S的方向取外侧,函数P,Q,R一、高斯公式首页×第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日下面先证:证明设为XY型区域,则首页×第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日首页×第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日所以若?不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：首页×第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日例1计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解首页×第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.解其中S为锥面与平面首页×第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日设S1为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是首页×第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S的边界曲线L的曲线积分之间的联系.对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L的正向.这个规定方法也称为右手法则.首页×第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑曲线,同L）上具有连续一阶偏导数，则有S的侧与L的正向符合右手法则,在S（连首页×第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日注意:则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,首页×第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:首页×第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日证情形1?与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设?取上侧(如图).则(利用格林公式)首页×第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日首页×第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;首页×第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日情形2曲面?与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把?分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕首页×第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日例2利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则首页×第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日首页×第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日例利用斯托克斯公式计算积分其中L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有首页×第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日首页×第20页，共29页，星期日，2025年，2月5日例?为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解设?为平面z=y上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦首页×第21页，共29页，星期日，2025年，2月5日