高考复习-向量法求距离、探索性及折叠问题（原卷版）.pdfVIP

向量法求距离、探索性及折叠问题

知识点总结

1.点到平面的距离

若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，

则点P到平面α的距离d＝.

2.点到直线的距离

如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个

与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝.

如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝.

3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.

典型例题分析

考向一点到直线的距离

例1如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝

1，则点P到直线BD的距离为________.

考向二点到平面的距离

例2在棱长均为a的正三棱柱ABC－ABC中，D是侧棱CC的中点，则点C到平面ABD

111111

的距离为()

22

A.aB.a

48

322

C.aD.a

42

感悟提升1.点线距的求解步骤：

→

直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP′及其在直线的方向向量a上的投影向

量→代入公式.

2.点面距的求解步骤：

(1)求出该平面的一个法向量；

(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面

的距离.

考向三探索性问题

例3(2023·厦门质检)在三棱柱ABC－ABC中，四边形AABB是菱形，AB⊥AC，平面AABB⊥

1111111

平面ABC，平面ABC与平面ABC的交线为l.

1111

(1)证明：AB⊥BC.

11

(2)已知∠ABB＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使AB与平面ABP所成角为30°？若

11

存在，求BP的长度；若不存在，请说明理由.

1

感悟提升1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列

方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.

训练2如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧

棱SD上的点.

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；

若不存在，试说明理由.

考向四折叠问题

例4(1)(2023·济南调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得

点D到达点P的位置，连接PB