高考复习-空间向量及其应用（原卷版）.pdfVIP

空间向量及其应用

思维导图

知识点总结

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有和的量

相等向量方向且模的向量

相反向量方向且模的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

(或平行向量)的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使

b＝.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存

在有序实数对(x，y)，使p＝.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量e，e，e不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的

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有序实数组(x，y，z)，使得p＝.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作

a·b，即a·b＝.

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z).

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向量表示坐标表示

数量积a·b

共线b＝λa(a≠0，λ∈R)

垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)

模|a|

夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线l，l的方向向量分别l∥l

1212

为e，el⊥l

1212

直线l的方向向量为e，平l∥α

面α的法向量为n，l⊄αl⊥α

平面α，β的法向量分别为α∥β

n，nα⊥β

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[常用结论]

→→→

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任

意一点.

→→→→

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O

为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，

即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

→→→

4.在利用MN＝