《电磁场与电磁波》课件_第4章 时变电磁场.pptx

4.1法拉第电磁感应定律

4.2位移电流

4.3麦克斯韦方程组

4.4时变电磁场的边界条件

4.5时变电磁场的能量与能流

4.6正弦电磁场

4.7波动方程

4.8时变电磁场的位函数;4.1法拉第电磁感应定律;英国科学家法拉第在1831年发现了时变电场和磁场间的这一深刻联系,即时变磁场产生时变电场?如果在磁场中有导线构成的闭合回路L,当穿过由L所限定的曲面S的磁通发生变化时,回路中就要产生感应电动势,从而引起感应电流?法拉第定律给出了感应电动势与磁通时变率之间的正比关系?感应电动势的实际方向可由楞次定律说明:感应电动势在导电回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化?法拉第定律和楞次定律的结合就是法拉第电磁感应定律,其数学表达式为

其中:E为感应电动势;Φ为穿过曲面S与L交链的磁通,磁通Φ的正方向与感应电动势E的正方向成右手螺旋关系,如图4.1.1所示?此外,当回路线圈不止一匝时,式(4.1.1)中的Φ是全磁通(亦称磁链Ψ)?

;例如,一个N匝线圈,可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的,其感应电动势为

如果定义非保守感应电场Ek沿闭合路径L的积分为L中的感应电动势,那么式(4.1.1)可改写成

如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场(即静电场)Ec,则总电场E为两者之和,即E=Ec+Ek?但是

所以式(4.1.3)也可改写成

;由于式(4.1.5)中没有包含回路本身的特性,所以可将式(4.1.5)中的L看成是任意闭合路径,而不一定是导电回路?式(4.1.5)就是推广了的法拉第电磁感应定律,它是用场量表示的法拉第电磁感应定律的积分形式,适用于所有情况?引起与闭合回路交链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化,也可以是闭合回路L自身的运动(即大小?形状?位置的变化)?

首先考虑静止回路中的感应电动势?所谓静止回路,是指回路相对于磁场没有机械运动,只是磁场随时间发生变化,于是式(4.1.5)变为

利用矢量斯托克斯定理,式(4.1.6)可写成

式(4.1.7)对任意面积均成立,所以

;式(4.1.8)是法拉第电磁感应定律的微分形式,它表明随时间变化的磁场将激发电场?时变电场是一有旋场,随时间变化的磁场是该时变电场的源?通常称该电场为感应电场,以区别于由静止电荷产生的库仑场?感应电场是旋涡场,而库仑场是无旋场,即保守场?

接着考察运动系统的感应电动势?不失一般性,设回路相对磁场有机械运动,且磁感应强度也随时间变化?设回路L以速度υ在Δt时间内从La的位置移动到Lb的位置,L由La的位置运动到Lb的位置时扫过的体积V的侧面积是Sc,如图4.1.2所示?穿过该回路的磁通量的变化率为

;若把静磁场中的磁通连续性原理∮B·dS=0推广到时变场,那么在t+Δt时刻通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零,因此

将B(t+Δt)展开成泰勒级数,即

从而

;由于侧面积Sc上的面积元dS=dl×vΔt,所以当Δt→0时

将式(4.1.12)?式(4.1.13)?式(4.1.14)代入式(4.1.10),求得

的高次项?

因此,L由La的位置运动到Lb的位置时,穿过该回路的磁通量的时变率为

;这样运动回路中的感应电动势可表示为

式(4.1.17)表明运动回路中的感应电动势由两部分组成:一部分是由时变磁场引起的电动势(称为感生电动势);另一部分是由回路运动引起的电动势(称为动生电动势)?式(4.1.17)可改写为

设静止观察者所看到的电场强度为E,那么E=E′-v×B?因此,运动回路中

或

式(4.1.19)和式(4.1.20)分别是法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式?至此我们已经知道电场的源有两种:静止电荷和时变磁场?

;

4.2位移电流;法拉第证实的电荷守恒定律在任何时刻都成立?电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程

式(4.2.1)表明:每单位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面内每单位时间所减少的电荷量利用散度定理(也称高斯公式)，即

将式(4.2.1)用体积分表示,对静止体积有

式(4.2.3)对任意体积V均成立,故有

式(4.2.4)是电流连续性方程的微分形式?

;静态场中安培环路定理的积分形式和微分形式分别为

此外,对于任意矢量A,其旋度的散度恒为零,即