复变函数的积分.pptVIP

**2．原函数的概念**结论：定理7：**证明：类似于微积分学中的基本定理和牛顿——莱布尼兹公式有了定理7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中．STEP4STEP3STEP2STEP1例2．解：例3．解：第三节柯西积分公式**柯西积分公式定理8：(柯西积分公式）**证明：说明：推论1：（平均值公式）推论2：例1．计算下列积分**解：例2．证明：****复变函数

与积分变换主讲：王兴波教授佛山科学技术学院大学数学多媒体课件参考用书**《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.601《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社02《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.503目录**第二章解析函数01第三章复变函数的积分02第四章解析函数的级数表示03第五章留数及其应用04第六章傅立叶变换05第七章拉普拉斯变换06第一章复数与复变函数07第三章复变函数的积分**内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便．1本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等．2第三章复变函数的积分**复积分的概念柯西积分定理本章小结思考题柯西积分公式解析函数的高阶导数第一节解析函数的概念**积分的定义分定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线．与曲线C反方向的曲线记为有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选01简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线．定义1：0201积分存在条件及其计算方法02定理1：证明：注意：法一计算这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合例1．**注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关，解：例2．**解：综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关．例3．**由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．解：复积分的性质**因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立．证明性质（5）：**（估计不等式）例4．解：例5．证明：第二节柯西积分定理**从上一节所举的例子来看:01的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的．02由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我们讨论此问题．03柯西积分定理**定理2：（柯西—古萨基本积分定理）柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．证明：说明：证明：依柯西-古萨基本定理**定理3：例6．解：二、复合闭路定理**定理4：（闭路变形定理）证明：一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称闭路变形定理．010302推论：（复合闭路定理）例1．解：三、原函数与不定积分**积分上限函数定理5：定理6：**证明：