高中数学人教A版必修第二册：6.2.4向量的数量积第一课时1.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

春季

课题

6.2.4向量的数量积第一课时

教学目标

1.通过物理中的功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教学重难点

教学重点：

平面向量的数量积的概念及其应用。

教学难点：

平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用。

教学过程

情境引入

在物理中，我们学过力做的功的概念。如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为：

【设计意图】让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。

探究新知

问题1??情景中涉及力F与位移s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？

【设计意图】能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

1.两向量夹角的定义?

(1)定义：如图已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ

注：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图让学生自行归纳、总结出两向量夹角。引导学生注意任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

特例：①当θ=0时，向量a与b同向

②当θ=π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b

③当θ=π时，向量a与b

问题2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成两个向量“相乘”的结果呢？

2．向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量abcosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a

规定零向量与任一向量的数量积为0．

【设计意图】由功的定义及公式引出数量积定义，有助于学生加深对数量积概念的理解，并能强化此公式的记忆。

问题3：思考下面问题

(1)两个向量的数量积是一个向量吗?它的值与符号如何确定?

是一个数量,符号由它们的夹角确定.

(2)a与b的数量积如何来记?可以写成a×

不可以写成a

(3)若a≠0,且a?b=0

不一定,a与b也可垂直.

(4)若a?c=

不一定

例9已知a=5，b=4，a与b的夹角θ=

解：a

例10设a=12，b=9，a?b=?542，求

解：cos

因为θ∈0，

投影向量

如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB=a，CD=b，我们考虑如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a

如图(2)，在平面内任取一点O，作OM=a，ON=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM

问题4：如下图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b

的夹角为θ，那么OM1与e，a，

显然，OM1与e共线，于是O

下面探讨λ与a，θ的关系，进而给出OM

当θ为锐角时，OM1与e方向相同，

所OM

当θ为直角时，λ=0，所以OM

当θ为钝角时，OM1与e

λ

即O

当θ=0时，λ=a

当θ=π时，

从上面的讨论可知，对于任意的θ∈0，π，都有

问题5：从上面的探究我们看到，两个非零向量a和b相互平行或垂直时，a在b上的投影向量具有特殊性。这时它们的数量积又有怎样的特殊性呢？

4．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a?

(2)a⊥b?a?

(3)当a与b同向时，a?b＝

当a与b反向时，a?b=?ab．特别地

(4)a?

三、巩固练习

1.已知p=8，q=6，p与q的夹角是60°

解：p?

2.已知?ABC中，AB=a，AC=b，当a

解：（1）当a?b

即cos∠ABC0，因为

所以?ABC

当a?b=0

因为AB，AC都不是零向量，所以cos∠

又θ∈0，π，所以∠

3.已知a=6，e是单位向量，当向量a与e夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a

解：当θ=45°时，a在向量

acos

当θ=90°时，a

acos

当θ=135°时，a

acos

四、课堂总结

1.向量的数量积

a?b

2.向量的投影向量

OM

3.向量数量积的性质

(1)a?

(2)a⊥b?a?

(3)当a与b同向时，a?b＝

当a与b反向时，a?

特别地，a?a=

(4)a?

备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。