2025版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法教案理含解析新人教A版.docVIP

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第7讲立体几何中的向量方法

基础学问整合

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线l上的向量e或与eeq\o(□,\s\up3(01))共线的向量叫做直线l的方向向量，明显一条直线的方向向量有eq\o(□,\s\up3(02))多数个．

(2)平面的法向量

假如表示向量n的有向线段所在eq\o(□,\s\up3(03))直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．

明显一个平面的法向量也有eq\o(□,\s\up3(04))多数个，且它们是eq\o(□,\s\up3(05))共线向量．

(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

l∥m?eq\o(□,\s\up3(06))a∥b?eq\o(□,\s\up3(07))a＝kb，k∈R；

l⊥m?eq\o(□,\s\up3(08))a⊥b?eq\o(□,\s\up3(09))a·b＝0；

l∥α?eq\o(□,\s\up3(10))a⊥u?eq\o(□,\s\up3(11))a·u＝0；

l⊥α?eq\o(□,\s\up3(12))a∥u?eq\o(□,\s\up3(13))a＝ku，k∈R；

α∥β?eq\o(□,\s\up3(14))u∥v?eq\o(□,\s\up3(15))u＝kv，k∈R；

α⊥β?eq\o(□,\s\up3(16))u⊥v?eq\o(□,\s\up3(17))u·v＝0.

2．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝eq\o(□,\s\up3(18))eq\f(|a·b|,|a||b|)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1()).

(2)直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\o(□,\s\up3(19))eq\f(|e·n|,|e||n|)，φ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)求二面角的大小

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝eq\o(□,\s\up3(20))〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满意cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．

3．求空间的距离

(1)点到平面的距离

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq\o(□,\s\up3(21))eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).

(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．

1．直线的方向向量的确定：l是空间始终线，A，B是l上随意两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量．

2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()

A．平行 B．相交但不垂直

C．垂直 D．重合

答案C

解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．

2．(2024·黑龙江模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1

A.eq\f(\r(10),5)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,3)

答案B

解析设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴eq\o(FD1,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(