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等比数列的前n项和的性质及应用+高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册.pptx

等比数列的前n项和的性质及应用+高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册.pptx

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1.3.2课时2等比数列的前n项和的性质及应用第一章数列

1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.掌握等比数列前n项和公式的性质.3.能应用等比数列的知识解决实际问题.

问题1:我们知道,等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式,可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性,等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢?等比数列前n项和公式也具有函数特征,

知识梳理等比数列前n项和公式的函数特征在等比数列前n项和公式中,当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=.即Sn是n的指数型函数.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=,Sn是n的正比例函数.A(qn-1)na1注意:等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.

【例1】已知等比数列{an}的公比为q,且有1-q=3a1,求{an}的前n项和.?

问题2:你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n?思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm.

问题3:类似于等差数列中的片段和的性质,在等比数列中,你能发现Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗?Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍成等比数列,证明如下:思路一:当q=1时,结论显然成立;

故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.思路二:由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn,S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.

问题4:类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质?若等比数列{an}的项数有2n项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,

若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.

知识梳理等比数列前n项和公式的性质1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).2.若数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和(n为偶数且q=-1除外),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.3.当n是偶数时,S偶=S奇·q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q./m

???

?(2)等比数列共有{an}项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.?

∴2n=256,解得n=8.所以公比q=2,项数n=8.解:设该等比数列为{an},∵项数是偶数,∴S偶=qS奇,∴85q=170,∴q=2.又Sn=85+170=255,即【例3】一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求出该数列的公比和项数.

解:用an表示热气球在第nmin上升的高度,由题意,得因此,数列{an}是首项a1=25、公比q=的等比数列.热气球在nmin上升的高度为【例4】一个热气球在第1min上升了25m的高度,在以后的每1min里,它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125m吗?所以这个热气球上升的高度不可能超过125m.

1.一个等比数列的前n项和为45,前2n项和为60,则前3n项和为()A.65B.73C.85D.1082.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q=2,S100=36,则a1+a3+…+a99等于()A.24 B.12 C.18 D.22AB

3.(多选题)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话的意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半,永远都取不完”.设第

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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!

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