2023—2024学年广东省广州市广东仲元中学高一下学期期中考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年广东省广州市广东仲元中学高一下学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.若，则复数的虚部为（）

A．

B．

C．1

D．

(★)2.若，，，的夹角为，则等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在中，若，则的形状一定是（）

A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形

二、多选题

(★★★)5.如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（）

A．与平行；

B．与共面；

C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；

D．与的交点一定在直线上．

三、单选题

(★★)6.如图，在中，，点是的中点．设，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

四、多选题

(★)9.在中，已知，，，则角的值可能为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（）

A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形

B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形

C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形

D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形

(★★★★)11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（）

A．若，则

B．若，，，则

C．若O为的内心，，则

D．若O为的垂心，，则

五、填空题

(★★)12.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m.

(★★★)13.设是复数且，则的最小值为___________.

(★★)14.将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则__________．

六、解答题

(★★)15.设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，.已知是纯虚数.

(1)求实数的值；

(2)若三点共线，求实数的值.

(★★★)16.如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

(★★)17.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．

(1)求四棱锥的体积；

(2)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．

(★★)18.在中，内角、、所对的边分别是、、，且

(1)求角；

(2)若，，求的面积.

(★★)19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为

(1)在斜坐标系中的坐标，已知，求

(2)在斜坐标系中的坐标，已知