寒假自习课 25春初中数学九年级下册沪科版上课课件 24.6 正多边形与圆.pptx

第24章圆

24.6正多边形与圆

正多边形与圆

正多边形的画法正多边形的性质

逐点导讲练

课堂小结

作业提升

1.正多边形各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

2.圆的内接正n边形把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.

要点解读

“各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，当边数n3时，二者必须同时具备，缺一不可，否则多边形就不是正多边形.

以点0为圆心，OA长为半径作⊙0,

已知直径FC//AB,AO,BO的延长线交⊙0于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.

1如图24.6-1,三角形AOB是正三角形，

图24.6-1

证明一个多边形是圆内接正多边形的方法：

1.利用正多边形的定义，证明圆内接多边形的每个

内角相等，每条边相等；

2.证明圆内接多边形各边所对的弧相等，即证明这个多边形的各顶点等分这个圆.

解题秘方：紧扣正多边形与圆的关系，结合同

圆中弦、弧、圆心角的关系证明.

解法提醒

证明：∵三角形AOB是正三角形，知1一练

∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°,OB=OA.

∴点B在⊙0上.

∵FC//AB,∴∠FOA=∠OAB=60°,

∠COB=∠OBA=60°.

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.AB=BC=CD=DE=EF=FA.

∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.

正n边形的画法将圆n等分，然后顺次连接各等分点，即

可得到所要作的正n边形.

知识点2正多边形的画法知2一讲

1.用量角器等分圆周先用量角器画一个度数为的圆

心角，则此圆心角所对的弧就是圆周的9然后在圆周

上依次截取这条弧的等弧，

XcF

就得到圆的n等分点，依次

连接各等分点，就得到圆的

内接正n边形，如图24.6-2①所示.

①

2.用尺规等分圆周对于一些特殊的正n边形，如正四边形、

正八边形，可以用圆规和直尺作图，如图24.6-2②所示.在⊙0中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆周四等分，从而作出正

四边形，若再逐次平分各边所CHk

对的弧，就可以作边数逐次倍

增的正多边形，如正八边形、正十六边形等.

②

要点解读

画正多边形的原理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

作一个正三角形，使其外接圆的半径为0.9cm.

解题秘方：用量角器画应先求出各边所对的圆心角，

用尺规画则应先考虑等分圆周.

特别提醒

1.画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点.

2.用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大的误差.

3.尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.

解：作法一(1)用量角器画∠AOB=

∠BOC=120°,以0为圆心，0.9cm

为半径作圆，交三条射线于点A,B,C;

(2)连接AB,BC,CA,则△ABC即为所求作的正三角形，如图24.6-3所示.

图24.6-3

作法二(1)作半径为0.9cm的⊙0;

(2)作⊙0的任一直径AB;(3)以B为圆心，0.9cm为半径作弧，交⊙0

于点C,D;(4)连接AD,DC,CA,

则△ADC即为所求作的正三角形，如图24.6-4所示.

图24.6-4

1.性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且

这两个圆是同心圆.

2.有关概念

正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.

正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径.

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角.

(1)半径、边长、边心距的关系为

(2)周长C=na;

(3)面积

3.正n边形的每个中心角都等于360°n.

4.设正n边形的半径为R,边长为a,边心距为r,则：

;

5.正多边形的对称性

所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正多边形的中心.当n为

偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

特别提醒：边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距.

特别提醒

知3一讲

常见的正多边形的边长与半径的关系：

1.正六边形的边长等于其外接圆半径；

2.正三角形的边长等于其外接圆半径的√3倍；