重难点12 几何压轴题二 相似模型（6大类型20种模型详解 20种模型专题训练）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（原卷版）.docx

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第四章三角形

重难点12几何压轴题二相似模型

（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）

【题型汇总】

类型一A型模型

类型

A型模型

作平行线构造A型相似

条件

DE∥BC

点D在线段AB上

图示

结论

?ADE∽?ABC

过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为

如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为

题型01直接用A型相似

1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB=AC，拉杆EF∥BC，AE=16AB，EF=0.35米，则两梯杆跨度B、C

A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．103

2．（20-21九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k

??

A．9 B．12 C．15 D．18

3．（2024·广东东莞·二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，AB=BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，且PD⊥BC，垂足为点D．

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)若tanC=12

题型02构造A型相似

1．（2020·湖北武汉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，

2．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．

3．（2020·浙江杭州·一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，AC

（1）若点O是线段BC中点．

①求证：m+n＝2；

②求mn的最大值；

（2）若COOB

题型03反A型模型

类型

条件

图示

结论

反A型模型

∠1=∠2

?ADE∽?ABC，

AD?AC=AE?AB

作垂线构造反“A”字相似模型

∠B=90°，E为AB上的一点

?ADE∽?ABC，AD?AC=AE?AB

1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为．

2．（2020·山东潍坊·二模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

3．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C

（1）求BC边上的高线长．

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．

①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．

②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．

4．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

??

(1)求证：△ABE∽

(2)当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE

(3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S,S1,

②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，

5．（2023·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求证：BDAB

??

【问题探究】（2）如图2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，作EF⊥BC于点F，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=AC时，直接写出∠BCD的正切值tan∠BCD

题型04作垂线构造反“A”字相似模型

1．（2024九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．

??

类型二X型模型

类型

X型模型

作平行线构造X型相似

条件

AB∥CD

=k

图示

结论

?AOB∽?COD

过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C