高考数学一轮复习讲义第5章5.4平面向量的综合应用.pdf

平面向量的综合应用

题型一平面向量在几何中的应用

115

例1(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，

42

则△ABC的面积的最大值为________．

答案15

→1→3

解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，＝＋

ADAB

44

→

AC，

151

又AD＝，cos∠BAC＝，

24

→1→3→193

2222

所以AD＝(AB＋AC)＝c＋b＋bccos∠BAC

4416168

193

22

＝c＋b＋bc，

161632

1519313313315

2222

又＝c＋b＋bc＝(c)＋(b)＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，

41616324432443232

当且仅当c＝3b时，等号成立．

15

所以bc≤8，又sin∠BAC＝，

4

1115

所以S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝15.

224

→→→→→

(2)(2022·天津)在△ABC中，CA＝a，CB＝b，D是AC的中点，CB＝2BE，试用a，b表示DE

→→

为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．

ABDE

31π

答案b－a

226

→→→31

解析DE＝CE－CD＝b－a，

22

→→→

AB＝CB－CA＝b－a，

→→

由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，

ABDE

22

即3b＋a＝4a·b，

a·b3b2＋a223|a||b|3