高考数学一轮复习讲义第4章必刷大题9解三角形.pdfVIP

解三角形

1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccosC＝

acosB－bcos(B＋C)．

(1)求角C；

(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsinB，求S.

解(1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，

所以2ccosC＝acosB＋bcosA，

由正弦定理得2sinCcosC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)．

因为sin(A＋B)＝sinC，所以2sinCcosC＝sinC.

1π

因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosC＝，则C＝.

23

1

(2)由S＝6bsinB，根据面积公式得6bsinB＝acsinB＝3asinB，所以a＝2b.

2

222

＋－

abc1

由余弦定理得cosC＝＝，

2ab2

222

整理得a＋b－ab＝36，即3b＝36，

所以b＝23，a＝43.

11π

所以△ABC的面积S＝absinC＝×43×23sin＝63.

223

45

2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝

5

bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)．

(1)求sinC的值；

π

(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.

4

45

解(1)在锐角△ABC中，a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)，

5

45

由正弦定理得sinA＝2sinBsinCcosC＋2sinC(sinA－sinBcosC)＝2sinAsinC，而sinA0，

5

25

所以sinC＝.

5

255

(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝－2∠＝1－