高考数学一轮复习讲义第4章4.9解三角形及其应用举例.pdf

解三角形及其应用举例

考试要求1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的

实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.3.通过解决实际问题，

培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．

知识梳理

测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂

平面内)所成的角中，目标视线在水平视线

仰角与俯角

上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下

方的叫做俯角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位

角θ的范围是0°≤θ360°

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角例：(1)北偏东α：

锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

(2)南偏西α：

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为

坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比

坡角与坡比

h

叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ

l

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(√)

ππ

(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是0，.(×)

3(2)

(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝

180°.(×)

π

(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，.(×)

[2]

教材改编题

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观

察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°B．北偏西10°

C．南偏东10°D．南偏西10°

答案B

解析由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图，

则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.

2.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰

角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()

A．(303＋30)mB．(153＋30)m

C．(303＋15)mD．(153＋15)m

答案A

解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，

23216－2

所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，

22224

1

60×