《电磁场与电磁波》课件_第6章 静态场的解.pptx

6.1概述

6.2镜像法

6.3分离变量法

6.4有限差分法;6.1概述;6.1.1边值问题及分类

静态场即静电场?恒定电流的电场和没有传导电流的空间的磁场,这类场的求解问题可总结为在给定边界条件下标量位函数和矢量位函数所满足的泊松方程或拉普拉斯方程的求解问题,即边值问题?

根据边界的已知条件,通常把边值问题分为以下三类?

;(3)给定待求位函数部分场域边界上的位函数值和其余场域边界上的位函数的法向导数值,即

这类问题称为第三类边值问题或称混合边值问题?

因为根据已知的边界条件即可确定边值问题的类型,所以确定边值问题类型的关键在于正确提出场域的边界条件?

6.1.2唯一性定理

在静电场的很多求解方法中,有一些间接的方法用于求解非常方便?相同的场使用不同的分析方法,其解的形式可能也不相同,但根据唯一性定理,只要它们满足相同的边界条件,这些不同形式的解就是有效的,而且彼此相等?在说明唯一性定理之前,先讨论格林定理?

1.格林定理

唯一性定理的证明需要借助场理论中的一个重要定理:格林定理?格林定理可由散度定理得出?

;2.唯一性定理

唯一性定理是多种方法求解场边值问题的理论依据?该定理表明对于任意静电场,当整个边界上的边界条件如位函数(或边界上位函数的法向导数)已知时,空间各部分的场就被唯一地确定了,与求解它的方法无关,即拉普拉斯方程有唯一的解?下面用反证法证明第一类边值问题的解具有唯一性?

;这说明满足场域边界条件的拉氏方程的解是唯一的?

利用唯一性定理,在求一些较难的场解时,可以采用灵活的方法,甚至猜测解的形式,只要该解能够满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程,这个解就是正确的?

;6.2镜像法;镜像法的实质是把实际上分布均匀的媒质看成是完全均匀的,并对于所研究的场域,用闭合边界外虚设的较简单的场源分布代替实际边界上复杂的场源分布来进行计算?根据唯一性定理,只要虚设的场源与边界内的实际场源一起产生的场能满足给定的边界条件,这个结果就是正确的?通常称虚设的场源为镜像源,如镜像电荷?镜像源的大小和位置就像人照镜子时看到的自己一样,镜子的形状不同,像也不同?在有源场域中,镜像法不仅可用于计算场强和电位,也可用于计算静电力及感应电荷的分布等?

6.2.1静电场中的镜像法

在实际工程中,许多问题可近似为无限大导体平面?导体球?无限长导体等静电场的边值问题,这类问题由于分界面电荷分布比较复杂,所以直接求解比较困难,此时可使用镜像法,但它只能用于相当狭窄的一类问题,并且使用时应该注意应用区域?

6.2.2电轴法

电轴法属于镜像法,是工程中常用的一种间接方法?电轴即为镜像源?平行双传输线是两平行带电圆柱导体,在电力工程中经常遇到,分析它的电场具有实际意义?如果运用直接方法分析有困难,可以采用间接方法加以解决?

;6.3分离变量法;分离变量法是直接求解偏微分方程的一种方法,适用于无源空间的求解,在解决电磁场实际工程问题时被更多采用?分离变量法就是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数的乘积,使该函数的偏微分方程可分解为几个单变量常微分方程的方法?使用分离变量法的条件是:首先,场域边界面能够与一个适当的坐标系统的坐标面结合,或者分段地与坐标面结合;其次,在此坐标系中,所求的偏微分方程的解可以表示为3个函数的乘积,且每个函数分别仅是一个坐标的函数?分离变量法的一般步骤如下:

(1)按照边界面的形状,选择适合的坐标系?

(2)将待求位函数用3个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示,即将偏微分方程分离为几个常微分方程?

(3)求出常微分方程的通解,然后根据给定的边界条件选择通解的形式,并确定通解中的待定系数?

由于实际工程中的位函数大多是二维场或近似二维场,因此下面讨论二维场的分离变量法?

;6.3.1直角坐标系中的分离变量法

;由于第(2)种和第(3)种情况只能出现一种,所以式(6.3.5)中的第一项和第二项只能取一项?选择的方法是:如果某一坐标对应的边界条件具有周期性,则该坐标的分离常数一定是实数,其解只能具有三角函数形式,而不可能是双曲函数?确定解的通式后,再根据给定的边界条件,通过确定系数和取舍函数,便可得到位函数的准确解答?

;6.3.2圆柱坐标系中的分离变量法

;实际工程中的同轴线?圆波导等具有圆柱形边界,对应场域也具有圆柱形边界,都适合应用圆柱坐标系?

;6.3.3球坐标系中的分离变量法

在求解空间场时,如果场域为球形空间或边界为球面,最好采用球坐标?球坐标中电位的拉普拉斯方程为

;6.4有限差分法;6.4.1有限差分法概述

设函数f(x),当其独立