高考复习-导数在函数最值及生活实际中的应用（原卷版）.pdf

导数在函数最值及生活实际中的应用

思维导图

知识点总结

导数与不等式

构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等

式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造

方法有：

(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)

－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结

x

xx

论，如lnx≤x－1，e≥x＋1，lnx＜x＜e(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；

x＋1

(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、

通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相

同结构”构造辅助函数；

(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求

得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最

值求解．

零点与隐零点问题

1．已知函数有零点求参数范围常用的方法

(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范

围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新

函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定

参数范围；

(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参

数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究

零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参

数范围．

2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐

零点”)

对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技

巧．

典型例题分析

考向一移项作差构造函数证明不等式

lnxae1

例1(2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝

xexx

f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

2

(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

x

若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函

数h(x)的单调性或最值证明不等式．

考向二单变量不等式恒成立或存在性问题

1＋lnx

例2已知函数f(x)＝.

x

1

(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)上存在极值，求正实数a的取值范围；

2

k

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数