2018年数学（北师大版选修1-2）练习阶段质量评估3.doc

阶段质量评估(三)推理与证明

A卷

(时间：60分钟满分：80分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．综合法是()

A．执果索因的逆推法 B．由因导果的顺推法

C．因果互推的两头凑法 D．原命题的证明方法

解析：由综合法的定义知，综合法是由条件推出结论，故选B．

答案：B

2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()

A．分析法 B．综合法

C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法

解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．

答案：B

3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()

A．①与②的假设都错误

B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；②的假设错误

D．①的假设错误；②的假设正确

解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．

答案：D

4．分析法的原理是“执果索因”，用分析法证明命题：eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a＞0)，所索的“因”是()

A．0＜12 B．7＜12

C．8＞7 D．7＞0

解析：要证eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a＞0)，

只要证2eq\r(a)·eq\r(a＋7)＜2eq\r(a＋3)·eq\r(a＋4)(a＞0)，

即证a2＋7a＜a2＋7

即证0＜12.

故求所索的“因”是0＜12.

答案：A

5．在平面几何中，可以得出正确结论“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的eq\f(1,3)”．拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)

C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)

解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论．

正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的eq\f(1,4).

证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．

把正四面体分成四个高为r的三棱锥，

所以4×eq\f(1,3)S·r＝eq\f(1,3)·S·h，即r＝eq\f(1,4)h.(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)

故选B．

答案：B

6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

A．28 B．76

C．123 D．199

解析：观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.

答案：C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把正确答案填在题中的横线上)

7．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.

等式

不等式

a＝b?a＋c＝b＋c

①

a＝b?ac＝bc

②

a＝b?a2＝b2

③

答案：①a＞b?a＋c＞b＋c②a＞b?ac＞bc(c＞0)③a＞b＞0?a2＞b2

8．如下数表，为一组等式．某学生根据数表猜测S2n－1＝(2n－1)(an2＋bn＋c)，老师回答正确，则a－b＋c＝________.

eq\a\vs4\al(S1＝1,S2＝2＋3＝5,S3＝4＋5＋6＝15,S4＝7＋8＋9＋10＝34,S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65,……)

解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,3?4a＋2b＋c?＝15，,5?9a＋3b＋c?＝65.))

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，,c＝1.))∴a－b＋c＝5.

答案：5

9．小赵、小钱、小孙、小李四名同学被问到谁去过长城时，

小赵说：我没去过；

小钱说：小李去过；

小孙说：小钱去过；

小李说：我没去过．

假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是________