2023—2024学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一下学期第一次月考数学试卷.docVIP

2023—2024学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一下学期第一次月考数学试卷

一、单选题

(★)1.已知为虚数单位，复数，则的虚部是（）

A．

B．1

C．i

D．

(★★)2.已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（）.

A．12

B．12

C．6

D．

(★★★)5.已知的面积为，则（）

A．13

B．14

C．17

D．15

(★★)6.已知平面向量与的夹角为，则（）

A．

B．

C．4

D．12

(★★)7.在中，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.已知，若，则（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.下列说法错误的是（）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

B．若非零向量与是共线向量，则四点共线

C．若非零向量与共线，则

D．若，则

(★★)10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A．，则

B．

C．若，则复数z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆

(★★★)11.如图所示，在中，，且点为边的中点，则下列结论正确的有（）

A．设是的中点，则

B．

C．若，则的最小值为

D．若，则边的最小值为

三、填空题

(★★)12.在中，，，点满足，若，则的值为______．

(★★★)13.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______．

(★★★)14.已知中，为上一点，且，垂足为，则______．

四、解答题

(★★)15.计算：

(1)

(2)

(3)

(★★★)16.如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．

(1)用表示；

(2)如果，且，求．

(★★)17.已知在中，角的对边分别为，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，为的中点，的面积为，求的长．

(★★★)18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求的大小；

(2)若，且的面积为，求的长度；

(3)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围．

(★★★)19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：

已知的内角，，所对的边分别为，，，且

(1)求；

(2)若，设点为的费马点，求.