高考数学一轮复习讲义第7章7.6空间向量的概念与运算.pdfVIP

空间向量的概念与运算

考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其

坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，

能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

知识梳理

1．空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量长度相等而方向相反的向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行

共线向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝

λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存

在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，

z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．

123123

向量表示坐标表示

数量积a·bab＋ab＋ab

112233

共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a＝λb，a＝λb，a＝λb

112233

垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)ab＋ab＋ab＝0

112233

模|a|222

＋＋

a1a2a3

a·b

cos〈a，b〉＝(a≠0，ab＋ab＋ab

112233

夹角余弦值|a||b|cos〈a，b〉＝