高考数学一轮复习讲义第5章5.1平面向量的概念及线性运算.pdfVIP

平面向量的概念及线性运算

考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平

行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

加法

结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法a－b＝a＋(－b)

|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa的方向与a

λ(μa)＝(λμ)a；

的方向相同；

数乘(λ＋μ)a＝λa＋μa；

当λ0时，λa的方向与a的方向相反；

λ(a＋b)＝λa＋λb

当λ＝0时，λa＝0

3.向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

常用结论

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

—→—→—→———→—→

量，即＋＋＋…＋－＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向

AAAAAAAAAA

122334n1n1n

量和为零向量．

→1→→

2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．

2

→→→→1→

3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(

PAPBPCAPAB

3

→

＋)．

AC

4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(√)

(2)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab.(×)

→→

(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)

(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)

教材改编题

1．(