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第六章圆
微专题12正多边形与圆的相关计算
（8种题型汇总+专题训练+模拟预测）
【题型汇总】
【解题方法汇总】
1）内角：正n边形的每个内角和为.
2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为.
3）周长：正n边形的周长.
4）面积：正n边形的面积.
5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为
6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为
7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为
【补充】有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
60
120
2
2
1
6
3
4
90
90
2
2
1
8
4
6
120
60
2
2
3
12
6
题型01与正多边与圆有关的角度计算问题
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=．
??
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得∠AOB=36°，再根据正n边形的边数n=360°÷中心角，即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360°÷36°=10，
故答案为：10．
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（????）
A．26° B．27° C．28° D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，由圆的内接正多边形的性质可得∠COD=90°，∠COE=72°，即得∠DOE=∠COD?∠COE=18°，即可由圆周角定理得∠DCE=12∠DOE=9°，进而由三角形内角和定理得∠DNM=∠CNE=63°
【详解】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴∠COD=360°÷4=90°，∠COE=360°÷5=72°，
∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?72°=18°，
∴∠DCE=1
∵∠CEF=5?2
∴∠CNE=180°?108°?9°=63°，
∴∠DNM=∠CNE=63°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DMN=90°?63°=27°，
∴∠AMF=∠DMN=27°，
故选：B．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．
??
【答案】10
【分析】先求出正五边形的外角为72°，则∠1=∠2=72°，进而得出∠AOB=36°，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角=360°
∴∠1=∠2=72°，
∴∠AOB=180°?72°×2=36°，
∴共需要正五边形的个数=360°
故答案为：10．
??
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
4．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE?∠COD=（???）
??
A．60° B．54° C．48° D．36°
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵∠BAE=180°?360°
∴∠BAE?∠COD=180°?360°
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
题型02与正多边与圆有关的周长，面积问题
5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S
??
【答案】2
【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OACASA，得到S△BAC=
【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，
??
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=1
∵∠CAE=60°，
∴∠OAC=∠OAE=30°，
∴∠BAC=∠OAC=30°，
同理可得，∠BCA=∠OCA=30°，
又∵AC=AC，
∴△BAC≌△OACASA
∴S△BAC
由圆和正六边形的性质可得，S△BAC
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC
∵S1
∴S1
故答案为：2．
【点睛】此题考查
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