追及相遇问题 （人教版2019必修一册）（解析版）.docx

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专题2.5追及相遇问题

【人教版】

TOC\o1-3\t正文,1\h

【题型1先远离后靠近的问题】

【题型2先靠近后远离的问题】

【题型3刹车类问题】

【题型4图像问题】

【题型5能否撞上的问题】

【题型6极值问题】

【题型1先远离后靠近的问题】

【例1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内.求：

(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；

(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.

答案(1)75m(2)12s

解析(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等.

则：t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(10,2.5)s＝4s

x货＝v1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋t1))＝10×(5.5＋4)m＝95m

x警＝eq\f(1,2)at12＝eq\f(1,2)×2.5×42m＝20m

所以两车间的最大距离

Δx＝x货－x警＝75m

(2)警车达到最大速度v＝90km/h＝25m/s的时间：

t2＝eq\f(v,a)＝10s

此时两车的位移分别为

x警′＝eq\f(v2,2a)＝eq\f(252,2×2.5)m＝125m

x货′＝v1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋t2))＝10×(5.5＋10)m＝155m

两车距离

Δx′＝x货′－x警′＝30m

警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，

则：Δt＝eq\f(Δx′,v－v1)＝2s

所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s，才能追上货车.

【变式1-1】(多选)物体A以10m/s的速度做匀速直线运动。物体A出发后5s，物体B从同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是2m/s2，且A、B运动方向相同。则()

A．物体B追上物体A所用的时间为5eq\r(3)s

B．物体B追上物体A所用的时间为(5＋5eq\r(3))s

C．物体B追上物体A前，两者的最大距离为75m

D．物体B追上物体A前，两者的最大距离为50m

解析：选BC设物体B出发后经时间t追上物体A，则：xA＝xB，vA(t＋5)＝eq\f(1,2)at2，解得t＝(5＋5eq\r(3))s，故A错误，B正确；相遇前相距最大距离时vA＝vB，用时为

Δt，则2Δt＝10，解得Δt＝5s，则xA＝vA(5＋Δt)＝10×(5＋5)m＝100m，xB＝eq\f(1,2)aΔt2＝eq\f(1,2)×2×52m＝25m，故Δx＝xA－xB＝75m，故C正确，D错误。

【变式1-2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

答案2s6m

解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at

所以t＝eq\f(v,a)＝2s

Δx＝vt－eq\f(1,2)at2＝6m.

解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－eq\f(1,2)at2

代入已知数据得Δx＝6t－eq\f(3,2)t2

由二次函数求极值的条件知：t＝2s时，Δx有最大值6m

所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m.

解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，

v1＝6m/s

所以有t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(6,3)s＝2s，

Δx＝eq\f(v1t1,2)＝eq\f(6×2,2)m＝6m.

【变式1-3】汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2.从刚刹车开始计时．求：

(1)A追上B前，A、B间的最远距离；

(2)经过多长时间A恰好追上B.

答案(1)16m(2)8s

解析汽车A和B的运动过程如图所示．

(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，

即v＝vB－at＝vA，

触得t＝3