重难点17 几何压轴突破四 几何最值问题 费马点 瓜豆模型（2种模型详解 5种题型汇总 针对训练）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（原卷版）.docx

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重难点17几何压轴突破四几何最值问题

费马点与瓜豆模型

（2种模型详解+5种题型汇总+针对训练）

【题型汇总】

类型一费马点

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论：

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；

2)对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）

【解题思路】运用旋转的方法，以?ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点.

图形

结论

等腰三角形

①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

②△ABP与△ACP全等；

③△BCP为等腰三角形；

④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.

等边三角形

①AP=BP=CP；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

③△ABP、△ACP、△BCP全等；

④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；

⑤点P是△ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；

⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.

直角三角形

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【模型拓展】

类型一单系数类

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

1）一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°

求AD+CD+BD的最小值

求AD+CD+BD的最小值

旋转角度是90°

旋转角度是120°

2）另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

类型二多系数类

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。

例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC

问题

求解图形

作法

求PA+PB+PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE

BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC

求PA+PB+2PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE

此时△PCE为等腰直角三角形，即PE=2PC

因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF

求PA+PB+3PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE

此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF

求2PA+PB+3PC最小值

思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)将PC边绕点C旋转60°，然后过点P作PF⊥CE于点F,则PF=32PC;2)12PB利用三角形中位线来处理；3）P

过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得△CDE,然后过点P作PF⊥CE于点F,此时△PCE为等边三角形，即PF=32PC，过点F作FG∥DE，则FG=12PB，则当A、P、F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+

求2PA+4PB+23PC

过程：△ACP绕点C顺时针旋转60°得△CDE,然后过点P作PF⊥CE于点F,此时△PCE为等边三角形，即PF=32PC，过点F作FG∥DE，则FG=12AP，则当B、P、F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

题型01普通费马点模型

1．（202