专题26圆的综合解析版-中考数学二轮复习难点题型专项突破全国通用.pdfVIP

专题26圆的综合

1．（2020•陕西中考）问题提出：

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．

问题解决：

（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠

O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积

最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理

由．

解：（1）如图1，

∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，

∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，

∴∠ADE+∠ADC＝180°，

∴C、D、E在同一条直线上，

∴CD+DE＝CE＝＝4；

（2）如图2，

连接OB，

∵∠AOC＝60°，OA＝OC，

∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，

∴∠BOE＝60°，OE＝OB，

∴△BOE是等边三角形，

∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，

∴∠CBE+∠CEB＝60°，

∴∠BCE＝120°，

∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO

＝S△BOE﹣S△BCE

＝﹣S△BCE，

∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，

作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，

当C与C′重合时，S△BCE最大，

S△BCE最大＝×15×（）＝，

∴S四边形OABC最小＝，

此时OA＝OC＝＝＝5．

2．（2021•德州中考）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．

（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．

①求证：△ABC为直角三角形；

②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；

（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△

ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．

证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，

∴DB＝DC．

∴DC＝AB．

∴△ABC为直角三角形；

解：②连接OA，OD，如图，

∵AD＝CD，

∴，

∴OD⊥AC且AH＝CH．

∵⊙O的半径为4，

∴OA＝OD＝4．

设DH＝x，则OH＝4﹣x，

222

∵AH＝OA﹣OH，

AH2＝AD2﹣DH2，

2222

∴5﹣x＝4﹣（4﹣x）．

解得：x＝．

∴DH＝．

由①知：BC⊥AC，

∵OD⊥AC，

∴OD∥BC．

∵AH＝CH，

∴BC＝2DH＝．

222

（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC＝2QD+QA．理由：

延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，

∵∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°．

∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．

∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．

222

∴QC＝QF+CF．

∵