精品解析： 山东省泰安第一中学新校区2024-2025学年高三上学期1月期末模拟考试数学试题（原卷版）.docxVIP

泰安一中新校区2025届高三上学期期末模拟考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

2.已知，则（）

A.B.C.D.

3.以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A.B.C.D.

4.已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（）

AB.

C.D.

5已知，，则（）

AB.C.D.

6.定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.

设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（）

A.B.

C.D.

7.设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲

线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（）

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AB.C.D.

8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了

一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均

相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、

分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或

平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A.B.C.D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个

选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知的部分图象如图所示，则（）

A.

B.的最小正周期为π

C.在内有3个极值点

D.当时，与的图象有3个交点

10.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线

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于点，交轴于点，下列说法正确的有（）

A.B.直线QB与也相切

C.D.若，则

11.已知是偶函数，是奇函数，且，则（）

A.是周期函数B.的图象关于点中心对称

C.D.是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____.

13.已知等比数列的前项和为，若，则_____.

14.已知函数，若存在实数，，且，使得

，则的最大值为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，角所对的边分别为，已知，且．

（1）求的值；

（2）若的面积，求的值．

16.设正项数列的前项和为，若.

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围.

17.如图，在直角梯形中，，，，点E是的中点，

将沿对折至，使得，点F是的中点.

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（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

18.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的

长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率

为，且右顶点A与上顶点B的距离．

（1）求椭圆C的面积；

（2）若直线l交椭圆C于P，Q两点，

（ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）；

（ⅱ）若以P，Q为直径圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，

求点T的坐标；若不存在，说明理由．

19.定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在

，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，

其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知

.

（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；

（2）若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有

恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，，为函数在的相依区间，证明：

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.

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