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向量法求空间角
思维导图
知识点总结
1.异面直线所成的角
|e·e|
12
若异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别为e，e，则cosθ＝|cos〈e，e〉|＝.
121212
|e||e|
12
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量
为e，平面α的法向量为n，则
e·n|e·n|
sinθ＝|cos〈e，n〉|＝||e||n||＝|e||n|.
3.二面角
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝
→→
〈，〉.
ABCD
如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满
12
足|cosθ|＝|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
[常用结论]
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin
θ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈u，n〉|.
π
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，.
[2]
典型例题分析
考向一异面直线所成的角
例1(1)如图，在正方体ABCD－ABCD中，E，F分别为棱AA，AD的中点，则直线BE
1111111
与DF所成角的余弦值为()
23
A.B.
55
34
C.D.
45
→→
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－ABCD中，E是棱CC的中点，＝λ
道路桥梁工程师持证人
职业建造师，造价工程师、安全工程师、工程概预算精通，从事相关工作10余年，实际与理论结合。
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